Материалы для самостоятельной работы студента (срс)
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ:
На самостоятельную работу студентов выносятся следующие темы, которые необходимо законспектировать, разобрать и закрепить на примерах:
Тема: «Функции нескольких переменных»
Понятия внутренней точки, граничной точки, границы, открытого и замкнутого множества, области, ограниченно и неограниченной области.
Геометрический смысл частных производных.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Рассмотреть примеры
Тема: «Дифференциальные уравнения»
Уравнение Бернулли.
ДУ высших порядков. Задача Коши.
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотреть примеры
Тема: «Ряды»
Числовой ряд. Частичная сумма. Сходящийся ряд.
Свойства сходящихся рядов.
Ряд геометрической прогрессии.
Гармонический ряд.
Необходимое условие сходимости рядов.
Достаточное условие расходимости рядов.
Признак сходимости рядов. Предельный признак сходимости рядов.
Признак Даламбера, Коши, интегральный признаки сходимости рядов.
Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
Абсолютная сходимость рядов. Свойства.
Функциональный ряд. Область сходимости.
Степенной ряд. Теорема Абеля.
Радиус сходимости.
Ряд Тейлора, Маклорена (теоремы).
Рассмотреть примеры.
Тема: «Теория вероятностей»
Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики.
Теорема сложения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей.
Независимые события.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Формула Бернулли.
Дискретные случайные величины.
Непрерывные случайные величины.
Закон распределения СВ.
Функция распределения СВ.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение СВ.
Нормальное распределение СВ.
ВОПРОСЫ НА КОЛЛОКВИУМЫ:
Функции многих переменных
Определение функции.
Предел функции. Свойства.
Непрерывность. Свойства.
Замкнутая, ограниченная, открытая области, граница.
Частная производная.
Дифференцируемость.
Необходимое условие дифференцируемости.
Достаточное условие дифференцируемости.
Дифференциал. Дифференциал высших порядков.
Производная сложной функции.
Дифференцирование неявной функции.
Определение экстремума функций многих переменных.
Необходимое условие экстремума.
Стационарные точки. Критические точки.
Достаточное условие экстремума.
Кратные интегралы
Определение верхней и нижней интегральной суммы и их свойства.
Определение двойного интеграла Римана.
Геометрический смысл двойного интеграла Римана.
Определение тройного интеграла Римана.
Критерий интегрируемости ограниченной функций по Риману.
Формулы, выражающие линейность и аддитивность двойного и тройного интегралов.
Теорема о формуле среднего значения для кратных интегралов.
Формулы перехода к новым переменным в двойном интеграле и условия, которым должно удовлетворять отображения.
Формулы перехода от прямоугольных координат к полярным координатам
,
к цилиндрическим
z)
и к сферическим координатам
Формулы для вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного и тройного интеграла.
Формулы для вычисления объема тела с помощью двойного и тройного интеграла.
Ряды
1.Числовой ряд. Частичная сумма. Сходящийся ряд.
2.Свойства сходящихся рядов.
3.Ряд геометрической прогрессии.
4.Гармонический ряд.
5.Необходимое условие сходимости рядов.
6.Достаточное условие расходимости рядов.
7.Признак сходимости рядов. Предельный признак сходимости рядов.
8.Признак Даламбера, Коши, интегральный признаки сходимости рядов.
9.Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
10.Абсолютная сходимость рядов. Свойства.
11.Функциональный ряд. Область сходимости.
12.Степенной ряд. Теорема Абеля.
13.Радиус сходимости.
14.Ряд Тейлора, Маклорена (теоремы).
Дифференциальные уравнения
Определение ДУ, решение ДУ, интегральная кривая.
Теорема Коши, задача Коши.
Общее решение, частое решение.
ДУ с разделяющимися переменными.
Однородная функция п-го порядка.
Однородные ДУ.
Линейные ДУ.
Метод Бернулли, метод Лагранжа.
Уравнение Бернулли.
Уравнение в полных дифференциалах.
Необходимое и достаточное условие полного дифференциала.
ДУ высших порядков, начальные условия, теорема Коши.
ДУВП, допускающие понижение порядка (три случая).
ЛОДУ 2-го порядка, линейно независимые функции, определитель Вронского, структура общего решения ЛОДУ 2-го порядка.
ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение.
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Несобственный интеграл 1-го рода. Геометрический смысл.
Признак сходимости, предельный признак сходимости несобственных интегралов.
Несобственный интеграл 2-го рода. Геометрический смысл.
Признак сходимости, предельный признак сходимости несобственных интегралов.
Теория вероятностей
Случайное событие. Элементарное событие.
Несовместные события.
Достоверное событие.
Невозможное событие.
Сумма двух событий.
Произведение событий.
Разность событий.
Полная группа событий.
Благоприятствующее событие.
Определение вероятности. Свойства.
Перестановки, размещения, сочетания.
Вероятность противоположного события (теорема).
Вероятность суммы двух несовместных событий (теорема).
Вероятность суммы двух случайных событий (теорема).
Условная вероятность. Теорема
Независимые события.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Случайная величина. Закон распределения СВ.
Функция распределения СВ. Свойства.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Их свойства дискретной.
Распределение Бернулли.
Биномиальное распределение. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Распределение Пуассона. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Плотность распределения.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение непрерывной СВ.
Равномерное распределение,
.Показательное распределение. .
Нормальное распределение .