6. Список литературы Основная литература:

1. Высшая математика для экономистов. / Под. Ред. Н. Ш. Кремера. М.-1998г.

2. В.С. Шипачев. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1990.

3. Ильин В. А., Куркина А.В., Высшая математика М.,2002г.

4. А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. Курс высшей математики для экономических вузов: В 2-х частях. М.: Высшая школа, 1982.

5. Л.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. Краткий курс высшей математики. М.: Высшая школа, 1989.

6. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977.

7. Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей.

8. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. М., Мир и образование, 2003.

Дополнительная литература:

9. Я.С. Бугров, С.М.Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного, М.: Наука, 1980.

10. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, М.:Наука,1976.

11. Н.С.Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.2, М.:Наука,1976.

16. Индивидуальные занятия по высшей математике. Под общей редакцией А.П. Рябушко. Минск: Высшая школа.

7. Контроль и оценка результатов обучения

7.1 Виды контроля

Промежуточная аттестация: 30-60 баллов, итоговая 20-40 баллов.

7.2 Формы контроля

№	Виды работ	Цель и содержание задания	Рекомен- дуемая литература	%-ное содер-жание	Форма контроля	Сроки сдачи
1	Устный опрос (СРС)	Проверить степень усвоения теоретического материала.	[1]- [6]	10	Экспресс-опрос	Еженедельно
2	Домашнее задание (СРС)	Проверить степень овладения практическим материалом.	[6], [7]	10	Опрос	Еженедельно
3	Контрольная работа (СРС)	Проверить степень овладения практическим материалом.	[7]- [12]	25	Письм. или тест	6 и 14 учебная неделя
4	Семестровое задание (СРС)	Более глубокое закрепление материала.	[9]- [15]	20	Письм. отчет	4-7 и 11-15 уч. недели
5	Коллоквиум (СРС)	Проверить степень усвоения материала.	[1]- [6]	35	Устно или письменно	7 и 15 учебные недели

8. Политика учебной дисциплины

В обязанности студентов входит посещение занятий, выполнение требований графика сдачи заданий по дисциплине.

Ответственность студентов за опоздания, пропуски занятий, поведение в аудитории определяется «Правилами внутреннего распорядка ЕНУ им. Л.Н.Гумилева».

Без личного присутствия студента итоговый контроль не проводится. Все случаи отсутствия на экзамене регулируются «Правилами организации учебного процесса в ЕНУ им. Л.Н.Гумилева».

ГЛОСАРИЙ

№ п/п	Новые понятия	Содержание
1	2	3
2	Дифференциальные уравнения (Д.У.)	Уравнения в составе которой присутствуют производные функций
3	Порядок дифференциальных уравнений	Порядок наивысшей производной входящее в Д.У.
4	Общий вид дифференциального уравнения первого порядка	Уравнения вида
5	Решение Д.У. первого порядка	Дифференцируемая на промежутке любая функция обращающая в тождество Д.У.
6	Интегральная кривая Д.У.	График решения Д.У.
7	Теорема существования и единственности Д.У.	Если функция и ее частное производное по , охватывающая точку какой-либо области будут непрерывны, то существует единственное решение удовлетворяющее начальному условию
8	Интеграл Д.У.	Неявном виде записанное решение
9	Общий интеграл Д.У.	или неявном виде записанное общее решение
10	Д.У. с разделенными переменными	Д.У. вида
11	Д.У. с разделяющимися переменными	Д.У. вида
12	Однородная функция степени	Функция для которой при всех выполняется равенство
13	Однородное Д.У. первого порядка	Д.У. , у которой функция однородная
14	Д.У. приводящее к однороному	Д.У удовлетворяющее условию .
15	Линейное Д.У. первого порядка	Д.У. вида
16	Уравнение Бернулли	Д.У. вида ( , )
17	Уравнения в полных дифференциалах	Д.У. вида удовлетворяющее равенсвту
18	Д.У. ного порядка	Д.У. вида
19	Д.У. ного порядка	Д.У вида ( )
20	Однородное Д.У. ного порядка	Д.У. вида ( )
21	Характеристическое уравнение Д.У. высшено порядка с постоянными коффициентами
22	Система Д.У. с постоянными коффициентами
23	Правильная область по	Прямая проходящее через внутренную точку области лежащей на плоскости и параллельной оси z= пересекающее ее границу в двух точках.
24	Разбиение области ( - разбиение)	Разбиение области на областей и запись ее в виде суммы , где и , при не имеющие общих точек области
25	Интегральная сумма функций	Сумма определенная равенством , где одно из разбиении области и
26	Диаметр области	Самое большое расстояние двух точек области : ,
27	Двойной интеграл функций	Предел интегральной суммы разбиении области функции , при стремлении к нулю наибольшего диаметра
28	Область пространства правильная область по переменной	Область пространства , граничащая цилиндрической поверхностью образующая которой по оси плоскости и проходящее через границу правильной области и графиками непрерывных функции в области , где . (Точно также определяются правильная область для других пар)
29	Функция двух переменных	Каждой паре чисел множества по какому – либо правилу или закону ставится в соответствие число z из множества L .
30	Функция n переменных	Если множество М точек, определенная координатами , то - будет функцией - переменных.
31	Область определения функции многих переменных	Область точек , в которой определяется функция .
32	Предел функций в точке.	Пусть функция в окрестности точки определена (в самой точке функция может быть и не определена, т.е. или ). Если для любого числа найдется число δ > 0, что для всех точек удовлетворяющее неравенству выполняется неравенство , тогда число является пределом функций в точке .
33	Непрерывность функций в точке	Если функция определена в окрестности точки и выполняется равенство или , то функция называется непрерывной в точке .
34	Точка разрыва функций	Если точка хотя и лежит в области определения или на границе ее, но не является точкой непрерывности, то эта точка будет точкой разрыва.
35	Приращение функций двух переменных	- Полное приращение - частное приращение по x - частное приращение по у
30	Частное производное функции	Частным производным функции в точке , называют предел отношения частных приращении функции по х и по у т.е. на частные приращения при (если этот предел существует) и обозначают символами и записывают
37	Дифференцируемость функции в точке	Функцию называют дифференцируемой в точке, если ее полное приращение можно записать в следующем виде , где основная часть приращения, а - зависимая от приращении бесконечно малая высшего порядка, т.е.
38	Полный дифференциал функций	Если функция дифференцируема в точке (х,у), то главная линейная часть полного приращения называют полным дифференциалом функции . - называют дифференциалом независимых переменных и обозначают их и . Тогда полный дифференциал запишется в следующем виде:
39	Экстремум функции двух переменных	Если для точки найдется окрестность в которой выполняется неравенство , то функция в точке достигает максимум (минимум). Точка - точка максимума (минимума), а значение функции соответствующее этой точке называют максимумом (минимумом) функций. Максимальное и минимальное значениея – называется экстремумом.
40	Необходимое условие экстремума	Если дифференциремая функция в точке имеет экстремум, то частные производные в этой точке равны нулю:
41	Достаточное условие экстремума	Точку называют стационарной точкой функций , а если в некоторой окрестности точки функция два раза дифференцируема и все вторые производные в стационарной точке непрерывны. Обозначая следующим образом Придем к следующим утверждениям: 1) если , то функция в точке имеет экстремум, а именно при максимум, а при - минимум. 2) если , то функция в точке не имеет экстремума.
42	Уравнение касательной плоскости	Уравнение касательной плоскости проходящей через точку имеет вид:
43	Нормаль поверхности	Прямая проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости
44	Нормаль -плоскость	Перпендикулярная касательной прямой, плоскость
45	Скалярное поле	Функция в точке области .
46	Производная по направлению	Производная функции в точке по направлению вектора будет , где - приращение сдвига точки по направлению ; на плоскости ; а в пространстве и
47	Градиент скалярного поля	На плоскости : , а в пространстве : , где - единичные вектора координатной оси.

48	Правильная область по	Прямая проходящее через внутренную точку области лежащей на плоскости и параллельной оси z= пересекающее ее границу в двух точках.
49	Мерная область на плоскости	Область на плоскости , которую можно разбивать на ограниченное количество правильных областей не имеющих внутренних общих точек.
50	Разбиение области ( - разбиение)	Разбиение области на областей и запись ее в виде суммы , где и , при не имеющие общих точек области
51	Интегральная сумма функций	Сумма определенная равенством , где одно из разбиении области и
52	Диаметр области	Самое большое расстояние двух точек области : ,
53	Двойной интеграл функций	Предел интегральной суммы разбиении области функции , при стремлении к нулю наибольшего диаметра
54	Область пространства правильная область по переменной	Область пространства , граничащая цилиндрической поверхностью образующая которой по оси плоскости и проходящее через границу правильной области и графиками непрерывных функции в области , где . (Точно также определяются правильная область для других пар)
55	Мерная область в пространстве	Область в пространстве , которую можно разбивать на ограниченное количество правильных областей не имеющих внутренних общих точек.
56	Разбиение области пространства	Область облысын пространства записывается в виде суммы областей , где при и не имеют внутренних общих точек
57	Интегральная сумма функций	Составленный из разбиении области функций сумма , где ,
58	Тройной интеграл функций	Предел интегральной суммы разбиении области функции , при стремлении к нулю наибольшего диаметра на промежутке
59	Числовые ряды	Выражение вида где общий член
60	Частная сумма ряда	Сумма - сумма первых п членов ряда;
61	Сходимость числового ряда	Существование предела последовательности частичных сумм числового ряда
62	Сумма числового ряда	Предел последовательности частичных сумм числового ряда
63	Необходимый признак сходимости ряда	Предел общего члена равна нулю при n →∞
64	Гармонический ряд	Расходящийся ряд вида
65	ный остаток ряда	Ряд вида который получается отбрасыванием членов ряда
66	Признаки сравнения	Для данных рядов (А) (В) выполняется тогда Если ряд (В) сходится, то ряд (А) сходится; 2) Если ряд (А) расходится, то ряд (В) расходится
67	Признак Даламбера	Если для ряда существует предел, то а)при ряд сходится; б) при ряд рассходится; в) ряд может сходится или расходится
68	Признак Коши	Если для ряда , существует предел, то а)при ряд сходится; б) при ряд рассходится; в) ряд может сходится или расходится
69	Знакочередующаяся ряд	Ряд вида
70	Признак Лейбница для знакочередующегося ряда	Если для ряда (А) выполняются усовия и , то ряд (А) сходится
71	Абсолютно сходящиеся числовые ряды	(А) числовой ряд (А) для которой сходится ряд
72	Абсолютная сходимость числового ряда	Если ряд сходится, то сходящаяся ряд (А) (А)
73	Условно сходящаяся ряд	(А) ряд (А) сходящаяся, а ряд расходящаяся
74	Функцияльный ряд	Ряд вида
75	Степенной ряд	Ряд вида - где
76	Интервал сходимости степенного ряда	Если - радиус сходимости степенного ряда, то является интервалом сходимости этого ряда
77	Почленное интегрирование степенного ряда	Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно интегрировать:
78	Почленное дифференцирование степенного ряда	Степенной ряд в интервале сходимости можно почленно дифференцировать:
79	Ряд Тейлора

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Лекции 1-3.

Понятие функции нескольких переменных,

предел и непрерывность функции многих переменных.

До сих пор мы рассматривали функции одной переменной, то есть функции, значения которых зависят от значений одной независимой переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y, определяется значениями двух переменных x и у, а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, у, z – значениями трех переменных x, y и z. Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно.

Эта часть курса посвящается рассмотрению такого рода зависимостей. С этой целью вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. Здесь мы подробно остановимся на функции двух переменных, при этом стоит заметить, что обобщение определений и результатов на функции трех и более переменных не содержит принципиальных отличий.

Определение 1. Пусть X, Y и Z – некоторые числовые множества. Функцией двух переменных называется множество f упорядоченных троек чисел (x; у; z) таких, что x0X, у0У, z0Z и каждая Упорядоченная пара чисел (x; у) входит в одну и только одну тройку этого множества, а каждое z входит, по крайней мере, в одну тройку. При этом говорят, что упорядоченной паре чисел (x; у) поставлено в соответствие число z, и пишут z=f (x; у). Число z называется значением функции f в точке (x; у). Переменную z называют, зависимой переменной, а переменные x и у – независимыми переменными (или аргументами); множество {(x; у)} – областью определения функции, а множество z – множеством значений функции.

Функцию двух переменных обозначают следующими символами z=z(x; у), z=f (x; у) и так далее.

Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы используем, как правило, аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции, в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.

Рассмотрим понятие предела функции двух переменных, с этой целью введем понятия δ-окрестности данной точки M₀(х₀; y₀) и сходящейся последовательности точек плоскости.

Определение 2. Множество {М(x; у)} всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству (x – x₀)² + (y – y₀)²< δ², или, короче, ρ(М; М₀)<δ, называется δ – окрестностью М₀ (x₀; y₀).

Рассмотрим последовательность точек М₁ (x₁; y₁), М₂ (x₂; y₂), …, М_n (x_n; y_n), … Будем кратко обозначать эту последовательность символом {М_n}.

Определение 3. Последовательность точек {М_n} называется сходящейся к точке М₀, если для любого ε>0 существует номер N₀ такой, что при п>N₀ выполняется неравенство ρ(М; М₀)<δ. При этом точка М₀ называется пределом последовательности {М_n} и обозначается или при .

Определение 4. Число A называется пределом функции z=f(M) точке М₀, если для любой сходящейся к М₀ последовательности точек М_n последовательность значений функции f (М₁), f(М₂), …, f(М_n), … сходится к A.

Стоит отметить, что и как в случае функции одной переменной, для предела функции многих переменных многие свойства сохраняются.

Теорема 1. Пусть функции f (М) и g (М) определены на одном и том же множестве {M} и имеют в точке М₀ пределы B и C. Тогда функции и (С≠0) имеют в точке М₀ пределы, равные соответственно и

Понятие непрерывности функции многих переменных вводится на основе понятия предела. Пусть на некотором множестве {М} определена функция f(М), точка М₀ó{М} и любая δ-окрестность точки М₀ содержит точки множества {М}.

Определение 5. Функция z=f(М) называется непрерывной в точке М₀, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. Е.

или

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

На некотором классе множеств непрерывные функции обладают такими же свойствами что непрерывные функции одной переменной на отрезке, а именно справедливы многомерные аналоги теорем Больцано-Коши и Вейерштрасса:

1. Если функция z=f(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она ограничена в этой области.

2. Если функция z=f(М) непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3. Если функция z=f(М) непрерывна в области, то она принимает все промежуточные значения между любыми своими значениями.