3°. Уравнение, не содержащее независимой переменной:
(11.2)
Рассмотрим два случая.
1. Уравнение (11.2)
разрешимо относительно
Тогда
П. 11.6
Разрешаем уравнение
относительно
Интегрируя, находим
общее решение
и
2. Уравнение (11.2) не разрешимо (в элементарных функциях) относительно но допускает параметрическое представление:
Тогда
Общее решение в параметрической форме:
П. 11.7
Полагаем
Тогда
Общее решение в
параметрической форме:
3°. Уравнение Лагранжа:
Положим
тогда
Считаем, что
Поэтому
или
1).
тогда
Получили линейное уравнение. Пусть его
решение
Тогда общее решение можно записать в
пара-метрической форме:
2).
пусть
корни этого уравнения, тогда получаем:
.
Эти прямые линии могут оказаться
осо-быми решениями уравнения Лагранжа.
П. 11.8
Делаем замену
тогда
Делаем замену
Таким образом,
общее решение в пара-метрической форме:
4°. Уравнение Клеро:
Делаем замену
тогда
Далее
Уравнение
распадается на два:
Из первого
уравнения следует, что p=c и, значит,
Это семейство прямых линий является
общим решением.
Уравнение
вместе с уравнением
доставляют ре-шение уравнения Клеро в
параметрической форме:
которое обычно
является особым решением, причем оно
заведомо будет особым, если
сохраняет знак.
П. 11.9
Делаем замену
тогда
Уравнение распадается на два:
Общее решение:
Из второго уравнения находим:
Исключая параметр
p, получаем особое решение в явном
виде:
П. 11.10
Делаем замену
тогда
Общее решение:
Далее,
Исключая из этих
урав-нений параметр p, находим
особое решение в виде
§12. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
1°. Система дифференциальных уравнений
,
где
- искомые функции от t;
- постоянные числа;
- заданные
функции, называется системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка.
Такую систему методом исключения можно привести к одному линейному урав-нению не выше второго порядка. Решение этой задачи рассмотрим на примерах.
П. 12.1
Дифференцируем
первое уравнение по t
:
.
Подставляем сюда из
системы уравнений
производные
:
.
Из первого уравнения системы
,
тогда
.
Т .о.,
- линейное уравнение; решая его известным
способом, найдем
;
далее,
находим из соотношения
.
Общее решение системы :
.
Решим задачу Коши
с начальными данными :
.
.
.
2°. Система дифференциальных уравнений
,
(12.1)
где
- искомые функции от x
;
- постоянные числа; называется системой
линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
второго порядка.
Систему можно, конечно, решить методом исключения, но можно решить более универсальным методом (методом Эйлера).
Если для системы (12.1) известна система линейно независимых частных решений (фундаментальная система решений):
тогда общее решение
имеет вид
.
(12.2)
Частные решения
ищем в виде :
.
После подстановки
в систему и сокращении на
получаем систему уравнений для определения
неизвестных
:
(12.3)
Чтобы эта однородная линейная система алгебраических уравнений имела ненулевое решение должно выполняться условие :
=0
(12.4)
Уравнение (12.4) называется характеристическим уравнением, а его корни -
характеристическими числами.