Уравнение Эйлера
Уравнение
(10.1)
называется неоднородным линейным уравнением Эйлера, а уравнение без правой части
(10.2)
называется однородным линейным уравнением Эйлера.
Уравнения
(10.1) и (10.2) подстановкой
приводятся к линейным дифференциальным
уравнениям с постоянными коэффициентами.
Уравнения
и
приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами при помощи замены
Рассмотрим примеры.
П. 10.1
Делаем замену
Находим производные
по переменной x, с учетом того, что
x= x( t) и
=
Подставляем
в уравнение:
или
значок t производных
опущен. Получили уравнение с постоянными
коэффициентами. Корни характеристического
уравнения
Возвращаемся к переменной x (
):
П. 10.2
Делаем замену
Находим производные
по переменной x:
=
Подставляем
в уравнение:
или
индекс t у
производных для простаты опущен. Корни
характеристического уравнения
Общее решение
однородного уравнения
Частное решение ищем в виде
;
подставляем в уравнение:
A=0.5.
Общее решение
Возвращаемся к переменной x (
):
П. 10.3
Делаем замену
Производные
были найдены в двух предыдущих
примерах:
Подставляем
в уравнение:
Корни
характеристического уравнения
Общее решение
Возвращаемся к переменной x (
):
П. 10.4
Домножая обе части уравнение на x2, можно придать ему стандартный вид уравнения Эйлера, (при этом появится постороннее решение x=0). Поэтому лучше сразу ввести замену
Производные
были найдены ранее:
Находим
:
Подставляем
в уравнение:
или, опуская индекс
t,
получаем
Корни характеристического уравнения
Общее решение
Возвращаемся к переменной x (
):
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
1°. Уравнение, содержащее только :
Это уравнение
имеет общий интеграл
П. 11.1
Общий интеграл
уравнения
П. 11.2
Общий интеграл
уравнения
2°. Уравнение, не содержащее искомой функции:
(11.1)
Рассмотрим два случая.
1. Уравнение (11.1)
разрешимо относительно
Пусть оно определяет m значений :
.
Тогда, интегрируя, получаем:
П. 11.3
Интегрируя, получаем
два семейства кривых:
2. Уравнение
(11.1) не разрешимо (в элементарных
функциях) относительно
но допускает параметрическое
представление:
Так как
то
Интегрируя, найдем:
Таким образом,
получаем общее решение в параметрической
форме:
П. 11.4
Полагаем
тогда
Далее,
Т. о., общее решение
П. 11.5
Вначале сделаем
замену
Так как
Поэтому
(ввели под
знак дифференциала
t2 и сделали замену z=t3
). Преобразуем дробь
.
,
Т. о., общее решение
