16.4. Методы математического программирования при оптимизации параметров систем электроснабжения

В математических моделях и их отдельных блоках используют различные методы математического программирования для оптимизации параметров систем электроснабжения.

Метод Гаусса—Зайделя (метод поочередного изменения параметров) заключается в том, что первоначально задаются произвольными значениями искомых переменных x_io с учетом имеющихся ограничений. При этом целевая функция получает некоторое значение 3 _o = 3(x_{i o}). Затем первоначальное произвольное решение пошагово улучшается так, чтобы после каждого шага целевая функция уменьшалась. Искомые параметры считаются найденными, если дальнейшее уменьшение значения невозможно, причем изменение на каждом шаге выполняется только по одному параметру. Если же целевая функция после определенного шага увеличилась, направление шага меняет знак. Переход к оптимизации очередного параметра наступает при отсутствии убывания функции цели. После последовательного однократного перебора по всем параметрам, как правило, не удается найти оптимальное решение, поэтому необходимо многократное повторение указанных циклов. Разработана блок-схема поиска минимума функции методом поочередного изменения параметров.

При градиентных методах каждое приближение осуществляется путем придания всем независимым переменным приращений, пропорциональных частным производным дЗ/дх_i Приращения Δx_i,- определяют соответствующее приращение целевой функции Δ3(Δx_i). Каждый шаг последовательных приближений реализует одно и то же решение—минимизировать ΔЗ(Δx_I) одновременно по всем переменным так, чтобы удовлетворялись условия задачи, т. е. поиск оптимальных значений Xi для всех i=1, 2, ..., п ведется одновременно.

Оптимизация по градиентному методу заключается в перемещении исследуемой системы в направлении, обратном градиенту. Решение по методу градиента состоит из двух этапов: на первом производится определение составляющих градиента по оптимизируемым параметрам дЗ/дх_i, на втором исследуемая система смещается в направлении, обратном градиенту. Частная производная определяется по выражению

Шаг производится так, чтобы приращения координат были пропорциональны соответствующим составляющим градиента:

Затем снова определяется градиентное направление и т. д.

Наиболее широкое применение нашли методы линейного и динамического программирования.

В линейных математических моделях применяется симплексалгоритм, являющийся основой симпслекс метода. По существу, симплексный метод представляет собой последовательный перебор параметров, при котором значение целевой функции убывает от итерации. Метод применим для оптимизации линейной функции многих переменных, связанных линейными равенствами ограничений при условии, что уравнения ограничений и целевой функции имеют канонический вид.

Пусть целевая минимизируемая функция зависит от п неизвестных

х₁; х₂; ...; х_п: '

Уравнения ограничений имеют вид

где т<п . При т = п значения переменных однозначно определяются (16.25) и (16.26). Различают базисные и небазисные переменные. Базисными переменными называются неизвестные, имеющие коэффициент, равный единице, в одном из уравнений системы (16.26) и которые не встречаются в остальных уравнениях и в уравнении целевой функции. Все остальные переменные называются небазисными. Если число базисных переменных равно т, уравнения (16.25) и (16.26) имеют следующий канонический вид:

где х₁, х₂, . ., х_т — базисные переменные.

Функцию Z можно минимизировать с помощью симплекс-алгоритма следующим образом. Критерий минимальности Z за­ключается в неотрицательности всех коэффициентов c_j в системе (16.27). Если все c_j ≥0, любое изменение небазисных величин может или увеличить Z или сохранить его. Если же хоть один из коэффициентов в системе с _j<0, можно уменьшить Z увеличе­нием x_j. При этом x_j выводится из числа небазисных и вводится в базис.

Если несколько коэффициентов c_j отрицательны, целесообразно выбирать коэффициент с наименьшим значением, т. е, наибольшей абсолютной величиной

В базис вводится значение х_s , при этом величина Z будет уменьшаться, так как произведение c_sx_s<0. Предельное значение x_s определяется соотношением

При таком значении x_s одна из базисных переменных x_i принимает нулевое решение, т. е. базисная величина x_i выводится из базиса в число небазисных переменных. Выбор индекса r базисного неизвестного х _r определяется условием

Шаг оптимизации в симплекс-алгоритме заключается в выборе: небазисной переменной x_s, вводимой в базис по условию (16.26); базисной переменной х_r , выводимой из базиса по условию (16.30).