Плотность нормального распределения

где Т—наработка на отказ восстанавливаемого изделии, ч, о—среднее квадрэтическое отклонение времени между отказами.

При нормальном законе распределения все рассеивание случайных величин практически укладывается на участке 3σ в обе стороны от математического ожидания Т.

Вероятность безотказной работы в течение требуемого времени рассчитывается по формуле

где -функция Лапласа (приводится в справочной литературе),

Интенсивность отказов

Вид основных характеристик надежности для нормального закона распределения приведен на рис. 14.5, а—в. Увеличение λ (t) с течением времени свидетельствует о том, что поток отказов не является стационарным и имеет место старение элементов. В области малых значений t постепенные отказы несущест-венно влияют на надежность, вследствие чего вероятность безотказной работы уменьшается незначительно. При длительной эксплуатации из-за постепенных отказов надежность быстро снижается.

Распределение Пуассона часто используется при исследовании надежности систем, для которых характерен простейший поток отказов. В качестве случайной величины рассматривается число отказов r в интервале времени t. Эта величина подчиняется распределению Пуассона (рис. 14.6), если вероятность того, что она примет значение г, определяется по выражению

где а — среднее число отказов, приходящееся на интервал времени t; Р(r) —вероятность появления числа отказов в заданном интервале времени t.

Рис. 14.6. Кривые распределения Пуассона для различного числа отказов в зависимости от относительного времени t/T

Если число отказов в единицу времени постоянно, вероятность можно представить в виде

где t—время, для которого определяется вероятность появления r отказов.

Распределение Вейбулла (рис. 14.7) как модель отказов является универсальным. Им можно описывать схемы мгновенных

отказов, схемы отказов от старения, износа, усталостного разрушения. Плотность распределения Вейбулла (рис. 14.7,6)

где а и b—параметры, определяющие форму и .масштаб распределения Вейбулла.

При изменении b кривая распределения «сжимается» или «растягивается».

При значении а<1 определяется вероятность безотказной работы элементов, имеющих скрытые дефекты.

Значение а>1 характерно для элементов, у которых быстро наступает износ.

При а=1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное.

Обычно а принимают в пределах от 1 до 2.

Для распределения Вейбулла вероятность безотказной работы (рис. 14.7, а) и интенсивность отказов (рис. 14.7, в) выражаются формулами

Cреднее время безотказной работы:

где --гамма-функция, значения которой табулированы [32].

Модель отказов Вейбулла использутся для описания надежности изделий, содержащих большое число одинаковых или близких по конструкции элементов, находящихся в одинаковых условиях, причем отказ любого из этих элементов приводит к отказу изделия в целом.

Часто для оценки надежности используют логарифмически нормальное распределение и распределение Релея.

Большой интерес представляет определение наработки, в течение которой изделия не откажут с некоторой заданной вероятностью y (%). т.е. по окончании которой изделие будет находиться в работоспособном состоянии. Расчет таких гамма-процентных показателей (ресурса, сроков службы, сохраняемости) важен для установления гарантийных сроков обслуживания, расчета расхода запасных частей и др.

Если назначить малый срок гарантии, которому соответствует высокий процент изделий, не достигших предельного состояния, завод несет большие расходы по гарантийному ремонту, однако потребители имеют малый срок гарантии. Если назначить большой срок гарантии, заводу-изготовителю придется нести большие расходы по гарантийному ремонту значительной части изделий.