Задание 3. Обработка результатов нескольких серий измерений
Условие задания:
При
многократных изменениях одной и той же
величины получены две серии по 12 (
)
результатов измерений в каждой. Эти
результаты после внесения поправок
представлены в таблице 3.1. Вычислить
результат многократных измерений.
Таблица 3.1 – Исходные данные:
№ измерения |
Серия 1 |
Серия 2 |
1 |
485 |
484 |
2 |
484 |
481 |
3 |
486 |
480 |
4 |
482 |
481 |
5 |
483 |
484 |
6 |
484 |
485 |
7 |
484 |
485 |
8 |
481 |
484 |
9 |
485 |
483 |
10 |
485 |
483 |
11 |
485 |
485 |
12 |
492 |
492 |
Решение
Произведем обработку данных каждой серии отдельно
3.1 Обработка результатов первой серии
Алгоритм проведения многократного измерения
Определяем точечные оценки результата измерения
Среднее арифметическое определяется по формуле:
,
где Qi – измеряемая величина;
n – число измерений, n = 12.
=484,67
Среднее квадратическое отклонение результата измерения:
SQ = 2,71
Обнаруживаем и исключаем ошибки:
Вычисляем наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение:
,
= 2,71
По таблице П6 [4] с доверительной вероятностью Р=0,95 с учетом q = 1–Р находим ТАБ=2,387
Так как > ТАБ, то данный результат измерений Q = 492 ошибочный, он отбрасывается и повторяются вычисления.
=484,0
SQ = 1,48
= 2,02
ТАБ=2,064
Условие < ТАБ выполняется. Больше ошибочных результатов нет.
Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.
Применим критерий 1.
Вычисляем отношение
Задавшись доверительной вероятностью P1=0,98, с учетом q1 = 1– P1 определяем по таблице П7 [4] квантили распределения:
=0,6675 =0,9359
<d<
0,6675 < 0,771 < 0,9359
Так как <d< , то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения первой серии согласуется с экспериментальными данными.
Применим критерий 2.
Задавшись доверительной вероятностью P2=0,98 и для уровня значимости q2=1–P2 с учетом n = 11 по таблице П8 [4] определяем значения m=1 и Р*=0,98
Для
вероятности
из таблицы 1.1.2.6.2 [3] для интегральной
функции нормированного нормального
распределения (t)
определяем значение t=2,33
Рассчитаем Е
Определим разность . Данные результаты представлены в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Номер измерения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
разность |
1,0 |
0 |
2,0 |
2,0 |
1,0 |
0 |
0 |
3,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
Так как ни одна из разностей не превосходит Е, то гипотеза о нормальном законе распределении вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными. Закон распределения оставшихся результатов первой серии можно признать нормальным с вероятностью .
.
Обработка результатов второй серии
Алгоритм проведения многократного измерения
Определяем точечные оценки результата измерения
Среднее арифметическое определяется по формуле:
,
где Qi – измеряемая величина;
n – число измерений, n = 12.
=484,33
Среднее квадратическое отклонение результата измерения:
SQ = 3,04
Обнаруживаем и исключаем ошибки:
Вычисляем наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение:
,
= 2,85
По таблице П6 [4] с доверительной вероятностью Р=0,95 с учетом q = 1–Р находим ТАБ=2,387
Так как > ТАБ, то данный результат измерений Q = 492 ошибочный, он отбрасывается и повторяются вычисления.
=483,18
SQ = 1,779
= 2,126
ТАБ=2,383
Условие < ТАБ выполняется. Больше ошибочных результатов нет.
Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.
Применим критерий 1.
Вычисляем отношение
Задавшись доверительной вероятностью P1=0,98, с учетом q1 = 1– P1 определяем по таблице П7 [4] квантили распределения:
=0,6675 =0,9359
<d<
0,6675 < 0,8285 < 0,9359
Так как <d< , то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения первой серии согласуется с экспериментальными данными.
Применим критерий 2.
Задавшись доверительной вероятностью P2=0,98 и для уровня значимости q2=1–P2 с учетом n = 11 по таблице П8 [4] определяем значения m=1 и Р*=0,98
Для вероятности из таблицы 1.1.2.6.2 [3] для интегральной функции нормированного нормального распределения (t) определяем значение t=2,33
Рассчитаем Е
Определим разность . Данные результаты представлены в таблице 3.3.
Таблица 3.3
Номер измерения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
разность |
1,55 |
0,55 |
0,55 |
1,55 |
0,55 |
2,45 |
1,45 |
0,45 |
0,45 |
0,55 |
0,45 |
Так как ни одна из разностей не превосходит Е, то гипотеза о нормальном законе распределении вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными. Закон распределения оставшихся результатов второй серии можно признать нормальным с вероятностью .
.
3.3. Проверка значимости различий средних арифметических серий
Вычисление момента закона распределения разности
G = 484,0 – 483,18 = – 0,82
SG = 0,46
Для
вероятности
из таблицы 1.1.2.6.2 [3] для интегральной
функции нормированного нормального
распределения (t)
определяем значение t.
t = 1,96
=
1,96*0,46
= 0,903
Сравним
с
=0,82 < =0,903
Так как < то различия между средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью можно признать незначимыми.
3.4 Проверка равнорассеянности результатов измерений в сериях
Определение значения
Задавшись
доверительной вероятностью
определяем из таблицы 16 [1] значение
аргумента интегральной функции
распределения вероятности Фишера
=2,82
Сравнение
с
1,48 < 2,82
< , значит серии с доверительной вероятностью считают равнорассеянными.
Так как серии однородны (равнорассеяны с незначимым различием средних арифметических), то все результаты измерения следует объединить в единый массив.
3.5 Обработка совместно результатов измерения обеих серий с учетом однородности
Определим оценку
результата измерения
и среднего арифметического отклонения
S:
Задавшись доверительной вероятностью P=0,95, определим из таблицы распределения Стьюдента 1.1.2.8 [3] значение t для числа степеней свободы m
t = 2,086
Определение доверительного интервала
,
Результат измерения
Ответ: n = 22 P = 0,95