Тема: Алгебра высказываний

Проверочная работа.

Вариант 1.

1. В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический – 14, химический – 10. Кроме того, известно, что 8 учеников не посещают никаких кружков, 8 человек – и математический и физический, 5 – и математический и химический, 3 – и физический и химический. Сколько человек посещают все три кружка?

2. Жили-были две фигуры: круг и квадрат. На их улице было 3 дома: один дом был с окном и трубой, другой - с окном, но без трубы, а третий - с трубой, но без окна. Каждая фигура жила в своем доме. Круг и Квадрат жили в домах с окнами. Квадрат любил тепло и часто топил печку. Кто в каком доме жил?

3. Есть пять коробочек - белая, черная, красная, синяя и зеленая. В каждой из коробочек по два шарика одного из цветов (два белых, два черных, два красных, два синих и два зеленых), причем выдвинуты следующие предположения:

1. ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;

2. в красной коробочке нет синих шариков;

3. в черной коробочке лежат по одному шарику каждого из холодных (зеленых или синих) тонов;

4. в коробочке нейтрального (белого или черного) цвета лежат один красный и один зеленый шарик;

5. в синей коробочке находится один черный шарик;

6. в одной из коробочек лежат один белый и один синий шарик.

1. Определить, какие шарики лежат в какой коробке.

Вариант 2.

1. После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 38 учеников класса двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре – 11, в цирке – 17; и в кино, и в театре – 6; и в кино, и в цирке – 10; и в театре, и в цирке – 4. Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?

2. Встретились три подруги - Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье сказала Черновой: «Нам троим надо поменяться платьями, а то цвета наших платьев не соответствуют нашим фамилиям». Кто в каком платье был?

3. - Мои четыре внучки - замечательные девочки, - рассказывала бабушка Палагея с нескрываемой гордостью. - Каждая из них играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из иностранных языков.

- На чем играет Маша? - спросил я.

- На рояле.

- А кто играет на скрипке?

- Что-то не могу вспомнить, но, по-моему, та девочка, которая говорит по-французски, - ответила бабушка. Поговорив с бабушкой, я также узнал, что Оля играет на виолончели, а Лена не говорит по-немецки. Маша не знает итальянского языка, а Оля не владеет английским. Валя не знает французского, Лена не играет на арфе, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Я совсем запутался.

Скажите мне, кто на каком инструменте играет и на каком языке говорит.

Вариант 3.

1. Из 57 школьников 28 собирают значки, 22 собирают марки, 30 собирают открытки; 10 – и значки, и марки, 8 – и марки, и открытки; 13 – и значки, и открытки; 3 человека не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников собирает и марки, и значки, и открытки?

2. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в спортивном соревновании. На вопрос, какие места они заняли, они ответили:

1. Коля не занял ни первое, ни четвертое места.

2. Боря занял второе место.

3. Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

3. Три дочери писательницы Дорис Кей – Джуди, Айрис и Линда – тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств – пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что:

• Джуди живет не в Париже, а Линда – не в Риме;

• парижанка не снимается в кино;

• та, кто живет в Риме, певица;

• Линда равнодушна к балету.

Где живет каждая девочка и какова ее профессия?

Изучение нового материала.

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII в. немецкий логик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и суждению можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное суждение или ложно. То есть он предполагал, что споры между людьми можно будет разрешать посредством вычислений. Но идея Лейбница оказалась неподтвержденной, так как до сих пор не найден способ свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Подлинный прогресс науки, называемой математической логикой, был достигнут в середине XIX в. Прежде всего благодаря труду английского логика Джорджа Буля «Математический анализ логики». Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логический операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область и находит широкое применение как внутри математики, так и вне ее.

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Таким образом, объектами изучения алгебры высказываний являются высказывания.

Высказывание — это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может.

Обозначать высказывания будем прописными буквами. Например: Х = Число 12345 кратно 3.

Если высказывание А истинное, то будем писать «А = 1» и говорить «А - истинно». Если высказывание А ложное, то будем писать «А = 0» и говорить «А - ложно».

Истинность или ложность высказывания не обязательно должна определяться здравым смыслом. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, может волновать зоологов, но никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логика как наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний, которая не зависит от знаний, жизненного опыта человека и его субъективного отношения к тому, о чем говорится в высказывании, а устанавливается с помощью некоторых специально разработанных объективных методов.

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием.

Например: Сегодня я пойду в театр.

Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).

Например: Он сделает уроки, и мы пойдем гулять.

Этим летом мы либо поедем к морю, либо поедем в Москву.

Если я буду хорошо учиться, то мне купят плейер.

Неверно, что Париж – столица Испании.

Я получу хорошую оценку тогда и только тогда, когда выучу весь материал.

Существуют кошки с белыми лапками.

Высказывания бывают общими, частными и ли единичными. Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый, ни один. Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые, большинство. Во всех других случаях высказывание является единичным.

Пример: Какие из приведенных высказываний являются общими или частными?

• Не все книги содержат полезную информацию (частное).

• Кошка является домашним животным (единичное).

• Все солдаты храбрые (общее).

Закрепление пройденного материала.

1. Какие из предложений являются высказываниями? Определить их тип и истинность.

• Число 6 – четное

• Посмотрите на доску

• Все роботы являются машинами

• У каждой лошади есть хвост

• Внимание!

• Кто отсутствует?

• Есть кошки, которые дружат с собаками

• Не все то золото, что блестит

• Некоторые люди являются художниками

• Выразите 1 час 15 минут в минутах

• Всякий моряк умеет плавать

• Чему равно расстояние от Земли до Марса?

• Внимание! Посмотрите направо.

• Не нарушайте правил дорожного движения!

• Полярная Звезда находится в созвездии Малой Медведицы.

2. Определите истинность и тип высказываний:

• Все ребята умеют плавать.

• Киев – столица Украины.

• Некоторые кошки не любят рыбу.

• Человек все может.

• Невозможно создать вечный двигатель.

• Каждый человек – художник.

• Прямоугольник есть геометрическая фигура.

• Некоторые рыбы – хищники.

Домашнее задание.

Определите истинность и тип высказываний:

• Ни один внимательный человек не совершит оплошность.

• Некоторые ученики двоечники.

• Все ананасы приятны на вкус.

• Мой кот страшный забияка.

• Любой неразумный человек ходит на руках.

• Некоторые мои друзья собирают марки.

• Все лекарства приятны на вкус.

• А – первая буква в алфавите.

• Некоторые медведи – бурые.

• Тигр – хищное животное.

• У некоторых змей нет ядовитых зубов.

• Многие растения обладают целебными свойствами.

• Все металлы проводят тепло.

Всегда ли можно определить истинность высказывания?