3.2 Основные теоремы о двойственности

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем о двойственности.

Теорема 1 Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений и выполняется равенство

(3.5)

Если одна из двойственных задач неразрешима ввиду того, что то другая задача не имеет допустимых решений (ограничения противоречивы).

Экономический смысл первой теоремы о двойственности. План производства х=(х₁, x₂, … , x_n) и набор цен на ресурсы y=(y₁, y₂, … , y_m) оказывается оптимальным тогда и только тогда, когда прибыль от реализации продукции, полученная при «внешних» (известных заранее) ценах c₁, c₂, … , c_n, равна затратам на ресурсы по «внутренним» (определяемым только из решения задачи) ценам y₁, y₂, …. , y_m . Для всех остальных планов x и y обеих задач прибыль от продажи продукции всегда будет меньше (или равна) затратам на ресурсы.

Другими словами, предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану и получить максимальную прибыль либо продавать ресурсы по оптимальным ценам и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы .

Теорема 2 (о дополнительной нежесткости) Для оптимальности решений и пары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений

(3.6)

Теоремы 1,2 позволяют определить оптимальное решение одной из пары двойственных задач по решению другой.

Двойственные оценки являются:

• показателем дефицитности ресурсов и продукции. Это свойство следует из теоремы 1: величина является оценкой i-го ресурса; чем больше значение оценки , тем выше дефицитность ресурса; для недефицитного ресурса ;

• показателем влияния ограничений на значение целевой функции. Из теоремы 1 следует, что при незначительном приращении b_i является точной мерой влияния ограничений на целевую функцию. Поэтому практический интерес представляет определение предельных значений ограничений (нижней и верхних) границ, в которых величины оценок остаются неизменными;

• показателем эффективности производства отдельных видов продукции с позиций критерия оптимальности. Это свойство следует из теоремы 2; его суть заключатся в том, что в оптимальный план может быть включена лишь та продукция j-го вида, для которой выполняется условие

• инструментом сопоставления суммарных условных затрат и результатов. Это свойство следует из теоремы 1, в которой устанавливается связь между значениями целевой функции прямой и двойственной задач.

3.3 Решение двойственных задач

Рассмотрим решение задач с использованием теорем о двойственности на нашем сквозном примере 1.1.

Исходная задача	Двойственная задача

а) Зная решение исходной задачи, необходимо, не решая двойственную задачу, найти решение двойственной задачи.

Так как , то ограничения двойственной задачи можно записать в виде системы

Подставим в систему ограничений исходной задачи:

Тогда система ограничений двойственной задачи примет вид

Отсюда , при этом .

б) Пусть теперь дано решение двойственной задачи.

Найдем решение исходной задачи.

Так как y₁>0 y₂>0 и y₃=0, y₄=0, то по 2-й теореме о двойственности первое и второе неравенства в исходной задаче в ограничениях превращаются в равенства:

Откуда .