Контрольные вопросы

1. Как формулируется задача ЛП в общем виде?

2. Как привести задачу ЛП к канонической форме?

3. Назовите последовательность действий, выполняемых в симплекс-методе.

4. Какие свойства допустимых решений вы знаете?

5. Как будет себя вести симплекс-метод при неединственном решении задачи ЛП?

Тема 3 Двойственная задача и анализ чувствительности

3.1 Постановка двойственной задачи

Пусть дана общая задача линейного программирования (ЛП):

(3.1)

Двойственной к ней задачей называется задача следующего вида:

(3.2)

Задачи (3.1) и (3.2) образуют пару взаимно-двойственных задач. Задача (3.2), двойственная к задаче (3.1), строится по правилам:

1. Упорядочивается запись исходной задачи, т.е. если целевая функция задачи максимизируется, то ограничения-неравенства должны иметь знак ≤, если минимизируется, то знак ≥. Выполнение этих условий можно достичь умножением соответствующего ограничения на (-1) в случае необходимости.

2. Каждой переменной y_i двойственной задачи соответствует i-е ограничение исходной задачи, и наоборот, каждой переменной х_j исходной задачи соответствует j-е ограничение двойственной задачи.

3. Если исходная задача является задачей максимизации, то двойственная задача будет задачей минимизации и наоборот. При этом вектор, образованный из коэффициентов при неизвестных целевой функции исходной задачи, совпадает с вектором констант в правых частях ограничений двойственной задачи. Аналогично связаны между собой векторы, образованные из коэффициентов при неизвестных целевой функции двойственной задачи, и константы в правых частях ограничений исходной задачи.

4. Матрица из коэффициентов при неизвестных в ограничениях двойственной задачи A^T образуется транспонированием матрицы A=(a_ij)_m×n, составленной из коэффициентов при неизвестных в ограничениях исходной задачи.

5. Если на j-ю переменную исходной задачи наложено условие неотрицательности, то j-е ограничение двойственной задачи будет являться неравенством, а в противном случае это ограничение будет равенством. Аналогично связаны между собой ограничения исходной задачи и переменной двойственной задачи.

Можно дать экономическую интерпретацию пары двойственных задач. Рассмотрим задачу рационального использования ресурсов (исходную задачу). Пусть предприятие располагает запасами ресурсов которые могут использоваться для выпуска n видов продукции. Известна стоимость единицы j-го вида продукции c_j (j=1,2,…,n) и нормы потребления i-го ресурса a_ij (i=1,…,m) на производство j-го вида продукции. Требуется определить объем производства продукции каждого вида х_j (j=1,…,n), при котором суммарная стоимость выпуска продукции будет максимальной:

(3.3)

По задаче ЛП (3.2) сформулируем другую экономическую задачу (двойственную).

Предположим, что некоторая фирма может закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие. Необходимо определить оптимальные цены y_i (i=1,…,m) на эти ресурсы, исходя из условия, что покупающая фирма стремится минимизировать общую стоимость ресурсов. Следует также учитывать и то, что фирма должна уплатить сумму, не меньшую, которую может выручить предприятие при организации собственного производства продукции.

Математическая модель имеет следующий вид:

(3.4)

Здесь Z(y) – общая оценка ресурсов. Каждое j-е ограничение из задачи (3.4) представляет собой неравенство, левая часть которого равна оценке всех ресурсов, расходуемых на производство единицы j-го вида продукции, а правая – стоимости единицы продукции.

Задачи (3.3) и (3.4) образуют симметричную пару взаимно двойственных задач.

Цены ресурсов y₁, y₂, …. , y_m получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл в том, что это условные ненастоящие цены. В отличие от «внешних» цен c₁, c₂, … , c_n на продукцию, известных до начала производства, цены ресурсов y₁, y₂, …. , y_m являются внутренними, поскольку они не задаются извне, а определяются в результате решения задачи, поэтому их называют оценками ресурсов.