Контрольные вопросы

1. Что подразумевается под графическим решением задачи ЛП?

2. Как определяются интервалы оптимальности для коэффициентов оптимальности для целевой функции графическим способом?

3. Как находятся интервалы осуществимости для ресурсов?

4. Как определяются стоимости ресурсов графически?

Тема 2 Симплекс-метод

2.1 Общая постановка задачи линейного программирования

Общая форма задачи линейного программирования (ЛП) обычно записывается следующим образом:

(2.1)

Условия задачи (2.1) называются смешанными, ибо в них присутствуют ограничения типа равенств и типа неравенств.

В матричной форме задача ЛП (2.1) приобретает вид

(2.2)

Набор чисел x₁, x₂, …, x_n, или вектор x, удовлетворяющий системе ограничений, называется планом рассматриваемой задачи ЛП. Компоненты вектора х называются составляющими плана.

Каждому плану х соответствует определенное значение функции z(x). Чем больше z(x), тем лучше план. План, для которого z(x) достигает максимума, называется оптимальным планом х₀, т.е. z(x₀) ≥ z(x), где х- любой план задачи (2.1).

В дальнейшем будем предполагать, что область допустимых планов – ограничена и непуста.

В теории ЛП рассматривают три формы задачи ЛП:

1. каноническую (2.3)

2. сопряженную каноническую

3. форму с однотипными ограничениями

Покажем теперь, что любую линейную задачу можно привести к канонической форме. Для этого необходимо научиться переходить от ограничений типа неравенств к ограничениям типа равенств и от переменных х_j, на которые не наложено условие неотрицательности, к неотрицательным переменным.

1. Каждое неравенство переходит в равенство при сложении левой части неравенства с новой неотрицательной переменной

2. Если n₁<n, то каждая переменная на которую не наложено условие неотрицательности, заменяется разностью новых неотрицательных переменных

Пример 2.1 Привести к канонической форме записи задачу ЛП

x₁+x₂=max, -x₁+x₂ ≤ -1, 2x₁+x₂=2, x₁ ≥ 0, x₂-свободная переменная.

Первое ограничение запишем в форме равенства введением новой переменной х₃≥0: -x₁+x₂+х₃=-1. Так как на x₂ не наложено условие неотрицательности, то заменяем х₂ разностью двух новых неотрицательных переменных После этих преобразований исходная задача ЛП запишется в канонической форме:

2.2 Некоторые свойства планов

Во всех аналитических методах решение задачи ЛП ищется последовательными приближениями. Вначале задается допустимое решение, которое затем улучшается в направлении движения к экстремуму целевой функции.

Мы в этом разделе рассмотрим несколько теорем, позволяющих провести анализ решения задачи ЛП. Предполагаем, что наша задача приведена к каноническому виду на максимум.

Теорема 1 Множество всех планов задачи ЛП выпукло.

Доказательство: Возьмем два плана задачи ЛП, заданной в канонической форме:

Необходимо показать, что выпуклая комбинация из точек и , является планом.

.

То есть х является планом.

Аналогично можно показать по индукции, что выпуклая комбинация любых планов задачи ЛП также является планом.

Линейная форма ограничений задачи (2.3) приводит к тому, что граница G (если оно непустое) состоит из кусков ряда гиперплоскостей. G может либо пустым множеством, либо выпуклым многогранником, либо выпуклой многогранной областью, уходящей в бесконечность. Для облегчения изложения дальнейшего материала будем предполагать, что область G ограничена, т.е. представляет собой выпуклый многогранник.

Мы должны найти из бесконечного множества точек множества G найти точку, в которой достигается максимум целевой функции z(x). Решение этой проблемы облегчается тем фактом, что замкнутую многогранную область G порождает конечное число особых точек (крайних точек), являющихся вершинами многогранника. Крайней точкой называют точку множества G, которая не может быть представлена как линейная комбинация двух других точек из множества G. Остальные точки G являются выпуклыми комбинациями крайних точек, т.е. как говорят в теории множеств, G является выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Теорема 2 Линейная форма z(x)=c^Tx задачи ЛП достигает своего максимума в крайней точке выпуклой области планов G. Если z(x) достигает максимума более чем в одной крайней точке, то она достигает того же значения в любой другой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих точек.

Доказательство: Обозначим крайние точки области G (вершины выпуклой многогранной области) через х(1), …, х(k), оптимальный план – через . Считаем, что максимум достигается только в одной точке х⁰, т.е. z(x⁰)>z(x), хG.

Покажем, что х⁰ может быть только крайней точкой области G. Если она не крайняя, то она может быть представлена выпуклой комбинацией крайних точек:

Рассчитаем z(x⁰), учитывая линейность функции z:

Пришли к противоречию. Следовательно, x⁰ может быть только крайней точкой области G.

Предположим далее, что существует несколько крайних точек х(1), …, х(m), в которых целевая функция z(x) достигает своего максимального значения: z(x(1))=…=z(x(m))=z⁰ z(x⁰). Тогда в точках величина z(x) также достигает максимального значения Теорема доказана.

Определение. План x задачи ЛП, заданной в канонической форме (2.3), называется невырожденным опорным планом, если число ненулевых компонент плана х равно рангу матрицы А, и векторы столбцы матрицы А, соответствующие ненулевым компонентам х, линейно независимы.

В (2.3) матрица А имеет размер (m×n). Будем считать для простоты, что ранг r=m, т.е. матрица А имеет m линейно независимых столбцов.

Определение. Система m линейно независимых столбцов матрицы A называется базисом опорного плана х (в векторе х компоненты положительны, а остальные нулевые) и обозначается B_x.

Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 3 План х^T=(х₁, х₂, … ,х_n) является крайней точкой G в том и только в том случае, если он опорный.

Сформулируем основные результаты раздела.

1. Множество планов задачи ЛП соответствует множеству точек выпуклого многогранника G.

2. Множество опорных планов соответствует множеству крайних точек многогранника G.

3. Каждой крайней точке соответствует базис из m векторов из данной системы n векторов-столбцов матрицы А.

4. Оптимальный план находится среди опорных (базисных).

Все конечные методы решения ЛП основываются на переборе тем или иным способом опорных планов и выборе из них оптимального.