80

А.С.Михайлов

Методы линейного программирования

Красноярск 2011

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»

А.С.Михайлов

Методы линейного программирования

Рекомендовано редакционно-издательским советом СибГТУ в качестве курса лекций для студентов направления 230100 Информатика и вычислительная техника, специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем, направления 230400 информационные системы и технологии, специальности 230401 Информационные системы и технологии в промышленности, а также направления 231000 Программная инженерия, специальности Разработка программно-информационных систем очной формы обучения

Красноярск 2011

Михайлов А.С. Методы линейного программирования: курс лекций для студентов направления 230100 Информатика и вычислительная техника, специальности 230105 Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем, направления 230400 информационные системы и технологии, специальности 230401 Информационные системы и технологии в промышленности, а также направления 231000 Программная инженерия, специальности Разработка программно-информационных систем очной формы обучения / А.С.Михайлов. – Красноярск: СибГТУ, 2011. – 76с.

Рецензенты:

ст.преподаватель Е.Н.Касьянова (научно-методический совет СибГТУ),

д-р техн. наук, проф. А.В.Медведев (СибГАУ)

Курс лекций предназначен для углубленного изучения теории линейного программирования, содержит доказательства теорем и оснащено многочисленными поясняющими примерами. В нем содержится обширный список литературы для самостоятельного изучения дисциплины. Пособие может быть использовано студентами при выполнении лабораторных работ по дисциплинам «Методы оптимизации» и «Исследование операций», а также преподавателями и аспирантами.

© А.С.Михайлов, 2011

© ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет», 2011

Содержание

Введение 4

Тема 1 Введение в ЛП 5

1.1 Исторический экскурс 5

1.2 Ограничения в модели ЛП 5

1.3 Графическое решение задачи ЛП 6

1.4 Графический анализ чувствительности 8

1.4.1 Изменение коэффициентов целевой функции 8

1.4.2 Стоимость ресурсов. 9

Тема 2 Симплекс-метод 13

2.1 Общая постановка задачи ЛП 13

2.2 Некоторые свойства планов 14

2.3 Алгоритм симплекс-метода 16

Тема 3 Двойственная задача и анализ чувствительности 21

3.1 Постановка двойственной задачи 21

3.2 Основные теоремы о двойственности 23

3.3 Решение двойственных задач 24

3.4Двойственный симплекс-метод 25

Тема 4 Анализ чувствительности оптимального решения 28

4.1 Матричное представление симплекс-таблиц 28

4.2 Анализ чувствительности 31

4.2.1 Изменения, влияющие на допустимость решения 32

4.2.2 Изменения, влияющие на оптимальность решения 35

Тема 5 Целочисленное линейное программирование 38

5.1 Метод ветвей и границ 38

5.2 Метод отсекающих плоскостей 43

Тема 6 Транспортная задача 46

6.1 Решение транспортной задачи 46

6.1.1 Постановка транспортной задачи 46

6.1.2 Интерпретация метода потенциалов как симплекс-метода 46

6.1.3 Определение начального решения 48

6.1.4 Метод потенциалов 50

6.2 Задача о назначениях 54

Тема 7. Основы сетевого планирования 56

7.1 Основные понятия теории графов 56

7.2 Метод критического пути 60

Тема 8. Задача о максимальном потоке 65

8.1 Постановка задачи о максимальном потоке 65

8.2 Решение задачи о максимальном потоке. Алгоритм Фалкерсона 67

8.3 Алгоритм Эдмондса -Карпа 71

Приложение А (справочное) Перечень ключевых слов 78

Библиографический список 79

Заключение 80

Введение

Целью данного курса лекций является помощь студентам в приобретении знаний по теоретическим основам методов оптимизации и получении твердых навыков решения практических задач.

Для достижения этой цели в курсе изложены основные понятия, определения, теоремы методов оптимизации, приведены примеры решения типовых задач.

Особое внимание уделено теории двойственности и связанных с ней двойственному симплекс-методу, матричному представлению симплекс-метода, с помощью чего подробно излагается анализ на чувствительность линейных задач.

Кроме того, рассматриваются методы целочисленного программирования: метод ветвей и границ и метод отсечения, а также метод потенциалов для решения транспортных задач и венгерский метод для решения задачи о назначениях.

Две последние темы курса посвящены сетевому программированию. В них вводится определение сетевого графика, излагаются теория критического пути и решение задачи о максимальном потоке

Материал изложен логически последовательно, в доступной для студентов форме, по возможности сопровождается доказательствами теорем и многочисленными примерами решения задач.

Материал, изложенный в курсе лекций, изучается на 3 курсе в V семестре дисциплины «Методы оптимизации» в объеме 18 часов лекционных и 36 часов лабораторных занятий, приведенных в методических указаниях «Решение задач линейного и сетевого программирования» [4] и лабораторном практикуме «Методы оптимизации» [5].