85. Метод потенциалов.

Введем специальные показатели для каждой строки матрицы перевозок (каждого поставщика), где и показатели для каждого столбца (каждого потребителя), где . Эти показатели называются потенциалами поставщиков и потребителей, их удобно интерпретировать как цены продукта в соответствующих пунктах поставщиков и потребителей.

1) Построение системы потенциалов.

Для построения системы потенциалов используем условие (5)

2) Проверка выполнения условия оптимальности для незанятых клеток.

Просматриваем строки и для каждой незанятой клетки проверяем выполнение условия

(6) Если для всех незанятых клеток условие (6) выполняется, то план является оптимальным. Если для некоторых клеток , то план является неоптимальным.

Транспортные задачи, в базисном плане перевозок кото­рых имеют место занятые клетки с нулевой поставкой (или в первоначальном распределении, или в процессе итера­ций), называются вырожденными. В случае вырожденной транспорт­ной задачи существует опасность зацикливания, т.е. беско­нечного повторения итераций (бесконечного перебора одних и тех же базисных комбинаций занятых клеток). Как пра­вило, в практических задачах транспортного типа зацикли­вание не встречается. При отсутствии вырождения метод потенциалов конечен и приводит к опти­мальному плану перевозок за конечное число шагов.

86. Определение потенциалов пунктов

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций.

Алгоритм

Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода, в котором базисная матрица представлена в виде дерева.

Двойственные переменные симплекс-метода для транспортной задачи называются потенциалами.

Потенциалы вычисляются по формуле , что эквивалентно

Для дуги потенциалы дуг связаны формулой .

Таким образом, потенциал потребителя равна потенциалу производителя + стоимость перевозки. С экономической точки зрения это можно трактовать как стоимость продукта в точке потребления.

Проверка оптимальности плана легко трактуется с экономической точки зрения - если стоимость продукта в точке потребления больше стоимости в точке производства + цена перевоза, по этой дуге следует везти. Величина называется невязкой дуги.

Добавление дуги приводит к возникновению цикла в дереве. Увеличение провоза по вводимой дуге приводит к пересчету потоков в цикле, провоз по одной из дуг при этом уменьшится до нуля. Дугу с нулевым потоком удаляем из базиса, при этом базисный граф остается деревом (цикл разрывается).

Остается только пересчитать потенциалы - добавить (или вычесть - зависит от направления дуги) ко всем вершинам "повисшей ветки" величину невязки

Процесс завершается, когда для всех дуг условие оптимальности выполняется для всех дуг.

87. Открытая модель тз.

Открытая и закрытая транспортные задачи. Выделяют два типа ТЗ:  открытая ТЗ и закрытая ТЗ. Транспортная задача называется закрытой, если выполняется условие баланса: суммарный объем производства равен суммарному объему потребления:

.                                        (3.1)

Открытая ТЗ имеет место в двух случаях. Первый случай. Суммарный объем производства меньше суммарного объема потребления:

.                                      (3.2)

Известно, что для существования допустимого решения транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы задача была закрытой. Поэтому транспортную задачу открытого типа предварительно необходимо свести к закрытой, для чего вводится фиктивный пункт производства с номером m+1 с объемом производства:

,                              (3.3)

при этом полагают .

Второй случай. Суммарный объем производства больше суммарного объема потребления:

.                                     (3.4)

Для сведения ТЗ к закрытому типу вводят фиктивный пункт потребления с номером n+1 с объемом потребления:

,                               (3.5)

при этом полагают .