83. Задача о назначениях.

Задача о назначениях – это распределительная задача, в которой для выполнения каждой работы требуется один и только один ресурс (один человек, одна автомашина и т.д.), а каждый ресурс может быть использован на одной и только одной работе. То есть ресурсы не делимы между работами, а работы не делимы между ресурсами. Таким образом, задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи. Задача о назначениях имеет место при назначении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, при распределении групп по аудиториям, научных тем по научно-исследовательским лабораториям и т.п.

Исходные параметры модели задачи о назначениях

1.  n – количество ресурсов, m – количество работ.

2.  a_i = 1 – единичное количество ресурса A_i (i =1,n), например: один работник; одно транспортное средство; одна научная тема и т.д.

3.  b_j = 1 – единичное количество работы B_j (j =1,m), например: одна должность; один маршрут; одна лаборатория.

4.  c_ij – характеристика качества выполнения работы B_j с помощью ресурса А_i. Например, компетентность i-го работника при работе на j-й должности; время, за которое i-е транспортное средство перевезет груз по j-му маршруту; степень квалификации i-й лаборатории при работе над j-й научной темой.

Искомые параметры

1.  x_ij – факт назначения или неназначения ресурса А_i на работу B_j:

2. L(X) – общая (суммарная) характеристика качества распределения ресурсов по работам.

Задача о назначениях является типичным примером оптимального

принятия управленческих решений. Эта задача позволяет

распределить объекты из некоторого множества по группе субъектов

из другого множества и это распределение должно соответствовать

оптимальности одного или нескольких итоговых показателей.

Пусть имеется n работ и n механизмов и задана производительность i-го механизма на j-ой работе. Требуется установить взаимно однозначное соответствие между механизмами и работами так, чтобы общая производительность была максимальной.

Для построения математической модели введем переменные , принимающие значения 0 или 1 в зависимости от того, назначен или нет i-ый механизм на j-ую работу. Получаем следующую задачу:

=1 (j=1,2,…,n)

=1 (i=1,2,…,n)

84. Нахождение опорного плана.

Существует несколько простых схем построения первоначального опорного плана транспортной задачи.

1) Метод северо-западного угла.

Не учитывая стоимости перевозки единицы груза начинается удовлетворение потребностей первого потребителя за счет запаса первого поставщика. Далее переходим из одной клетки в другую по правилу «вниз и вправо», нагружая каждую клетку по максимуму.

2) Метод минимальной стоимости.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел или . Затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

3) Метод двойного предпочтения.

В каждом столбце отмечают знаком * клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку **. В них находится минимальная стоимость как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие столбцы и строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком V. В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости. Опорный план, полученный таким образом, наиболее близок к оптимальному.