81. Транспортная задача.

Транспортная задача – одна из распространенных задач линейного программирования. Её цель – разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чрезмерно дальних, встречных, повторных перевозок. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий, фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д. Транспортные задачи бывают открытые и закрытые.

Если сумма запасов груза равна суммарной потребности в нем, то транспортная задача называется закрытой. Если сумма запасов груза не равна суммарной потребности в нем, то транспортная задача является открытой.

Транспортная задача называется закрытой, если выполняется условие баланса : суммарный объем производства равен суммарному объему потребления:

.                                        (3.1)

Следнет обратить внимание на то, что математическая модель задает закрытую транспортную задачу. 

Открытая ТЗ имеет место в двух случаях.

Первый случай. Суммарный объем производства меньше суммарного объема потребления:

.                                      (3.2)

Известно, что для существования допустимого решения транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы задача была закрытой. Поэтому транспортную задачу открытого типа предварительно необходимо свести к закрытой, для чего вводится фиктивный пункт производства с номером m+1 с объемом производства:

,                              (3.3)

при этом полагают  .

Второй случай. Суммарный объем производства больше суммарного объема потребления:

.                                     (3.4)

Для сведения ТЗ к закрытому типу вводят фиктивный пункт потребления с номером n+1 с объемом потребления:

,                               (3.5)

при этом полагают  .

82. Математическая постановка основной тз по критерию стоимости

Поставщики A₁, A₂, A₃, A₄, имеют 20, 20, 20, 20 единиц однотипной продукции, которую необходимо доставить потребителям B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ в количестве 19, 19, 19, 19, 4 единиц. Стоимость доставки единицы продукции от поставщика A₁ к данным потребителям равна 15, 1, 22, 19, 1 денежных единиц; от поставщика A₂ – 21, 18, 11, 4, 3 денежных единиц.; от поставщика A₃  26, 29, 23, 26, 24 денежных единиц. и от поставщика A₄  21, 10, 3, 19, 27 денежных единиц. Необходимо найти оптимальное решение доставки продукции от поставщиков к потребителям, минимизирующие стоимость перевозки.

Если сложить запасы поставщиков и запросы потребителей обнаружим, что запасы поставщиков равны 20 + 20 + 20 + 20 = 80 единиц продукции. Потребности потребителей равны 19 + 19 + 19 + 19 + 4 = 80 единиц продукции. Следовательно, нет необходимости вводить фиктивного поставщика.

Таблица 1.1.1

	B1	B2	B3	B4	B5	Запасы
A1	15	1	22	19	1	20
A2	21	18	11	4	3	20
A3	26	29	23	26	24	20
A4	21	10	3	19	27	20
Потребности	19	19	19	19	4

В т пунктах отправления , которые в даль­нейшем будем называть поставщиками, сосредоточено опре­деленное количество единиц некоторого однородного про­дукта, которое обозначим (i = 1, 2, ..., т). Данный про­дукт потребляется в п пунктах , которые будем называть потребителями; объем потребления обозначим (j = 1, 2, ..., п). Известны расходы на перевозку единицы продукта из пункта Ai в пункт Bj, которые равны и при­ведены в матрице транспортных расходов .

Требуется составить такой план прикрепления потреби­телей к поставщикам, т.е. план перевозок, при котором весь продукт вывозится из пунктов в пункты в соответ­ствии с потребностью и общая величина транспортных из­держек будет минимальной.

Обозначим количество продукта, перевозимого из пункта в пункт , через , тогда условие задачи можно записать в виде таблицы (табл.1), которая называется матрицей планирования. Совокупность всех переменных для краткости обозначим . Тогда целевая функция задачи будет иметь вид

а ограничения выглядят следующим образом:

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является условие баланса: