94. Метод ветвей и границ

Суть метода ветвей и границ состоит в последовательном переборе вариантов, рассмотрении лишь тех из них, которые по определенным признакам оказываются перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов. При использовании метода ветвей и границ область допустимых решений (ОДР) исходной задачи определенным способом разбивается на непересекающиеся подмножества, и решаются подзадачи, т.е. задачи на этих подмножествах с той же ЦФ и без учета условия целочисленности (как задачи ЛП). Если в результате получено оптимальное нецелочисленное решение, ОДР подзадачи снова разбивается на части и этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет найдено оптимальное целочисленное решение исходной задачи. Если в задаче на максимум при решении подзадач получаются оптимальные целочисленные решения, то запоминаются те из них, которым соответствуют возрастающие значения ЦФ. Если полученное «непрерывное» решение подзадачи оказывается не лучше сохраненного целочисленного решения, то такая подзадача исключается из списка задач. Название этого метода объясняется тем, что в процессе решения задача последовательно «ветвится», разбиваясь на более простые подзадачи.

L = 11x₁ + 12x₂ →max

1 2x₁ + 11x₂ ≤ 132;

10x₁ + 15x₂ ≤ 150;

x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0,

x₁, x₂ Z

L = 134 ; x₁ = 4 ; x₂ = 6 .

Начинаем вводить ограничения:

x 2 12 x1 + 11*6 = 132; x1 = 5 ; x2 = 6; L = 132 ; Решений нет

x2 10 x1 +15*7 = 150 x1=4 ; x2 = 7; L = 133 >132 , значит продолжаем ветвление здесь.

x1 10*4 +15x2 = 150; x1 = 4; x2 = 7 ; L =132; Продолжаем ветвление здесь.

x 1 15х2=100 х1=5; х2=6 ; L=135; Решений нет

х 2 Решений нет.

x 2 10х1 + 15*8 = 150 х1 = 3; х2 = 8; L=129 Получено целочисленное решение, прекращаем ветвление..

Итак, оптимальное целочисленное решение равно 129 при x₁ = 3; x₂ = 8.

95. Алгоритм метода ветвей и границ

Алгоритм решения:

1. Решаем задачу любым из методов, получаем значение иксов;

2. Отбираем метод выбора уровней переменной;

• по максимальной переменной при целевой функции;

• максимально дробная часть переменной.

3. Вводим две ветви решения задачи

1)

2)

4. Решаем задачу с дополнительными ограничениями по этим ветвям. Находим в них F и выделяем наибольшее. Проверяем выполнение условий, если выполняется, хотя бы одно, отмечаем ветвь.

• получено целочисленное решение;

• задача не имеет решения;

• значения целевой функции в данной ветви меньше выделенного.

Решение заканчивается если ветви являются отмеченными. Если все отмечены, выбираем ту, где получено целочисленное решение и наибольшее значение функции.