2. Матрица игры (платежная матрица).

Рассмотрим парную конечную игру:

Игрок А имеет m стратегий A1, A2,…,Am.

Игрок В имеет n стратегий B1, B2,…,Bn.

Размерность игры mn.

В результате выбора игроками любой пары стратегий Ai и Bj (i=1,2,…m; j=1,2,…n) однозначно определяется исход игры, то есть выигрыш игрока А aij и проигрыш игрока В -aij.

Матрица P=(aij) (i=1,2,…m; j=1,2,…n), элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям Ai и Bj, называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид матрицы:

Таблица 1

B1 B2 … Bn

A1 a11 a12 … a1n

A2 a21 a22 … a2n

… … … … …

Am am1 am2 … amn

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, столбцы - стратегиям игрока В.

3. Оптимальные стратегии. Цена игры.

Рассмотрим игру mn с матрицей Р=(а_ij) размером mn.

Определим наилучшую стратегию игрока А среди стратегий A₁, A₂,…,A_m.

Выбирая стратегию А_i, игрок А рассчитывает, что В выберет стратегию В_j, для которой выигрыш А минимален (игрок В вредит А).

Обозначим - минимальный выигрыш игрока А, при выборе им стратегии A_i, для всех возможных стратегиях В.

- минимальное число в i-ой строке платежной матрицы.

Среди всех возможных выберем максимальное:

- нижняя цена игры (максимин) - максимальный гарантированный выигрыш игрока А.

Стратегия, соответствующая максимину называется максиминной стратегией.

Оптимальная стратегия игрока – такая стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку макс возможный средний выигрыш или мин возможный средний проигрыш.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А. Выбирая стратегию В_j, игрок В максимально возможный при этом выигрыш игрока А. Обозначим - самый большой элемент в столбце j. Тогда - верхняя цена игры (минимакс) - минимальный гарантированный выигрыш игрока В.

Стратегия, соответствующая минимаксу называется минимаксной стратегией.

Если верхняя цена игры равна нижней цене игры, то - чистая цена игры. Минимаксные стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются оптимальными, а их совокупность - оптимальным решением или решением игры. Игрок А получает гарантированный, не зависящей от стратегии игрока В выигрыш , а игрок В добивается минимального гарантированного, не зависящего от выбора А, проигрыша .

Решение игры устойчиво, если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий A_i B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда a_ij - максимум в своем столбце и минимум в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой.

Выигрыш, соответствующей оптимальному решению, называется ценой игры . Цена игры удовлетворяет неравенству:

,

где - нижняя цена игры; - верхняя.

4. Решение игры в смешанных стратегиях.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий А₁, А₂,…,А_i,…А_m с вероятностями p₁, p₂,…,p_i,…p_m, причем сумма вероятностей равна 1: . Смешанные стратегии игрока записываются в виде матрицы:

,

или в виде строки . Аналогично свешанные стратегии игрока В обозначаются:

или , где сумма вероятностей появления стратегий игрока В равна 1: .

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой из нулей и единицы, причем единица должна стоять в позиции, соответствующей чистой стратегии.

На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение игры: это пара оптимальных стратегий , в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей оптимальной стратегии.

Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равен цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.