Дослід№8. Рішення системи лінійних рівнянь

У цьому досліді ми розглянемо, як вирішувати системи лінійних рівнянь. Давайте вирішимо систему рівнянь х+2у=3, 4х+5у=6.

• Введіть рядок А=[1 2; 4 5];, що визначає матрицю коефіцієнтів системи лінійних рівнянь.

• Натисніть клавішу Enter

• Наберіть на клавіатурі рядок В=[3; 6];, що задає вектор вільних членів системи рівнянь.

• Натисніть клавішу Enter.

• Уведіть рядок C=inv(A)*B. Відповідно до методу Гаусса рішення системи лінійних рівнянь визначається множенням зворотної матриці коефіцієнтів на вектор вільних членів.

Натисніть клавішу Enter. У вікні програми з'явиться рішення введеної системи, рівнянь (Рис. 12).

Рис. 12. Рішення системи лінійних рівнянь

Слід зазначити, що системи лінійних рівнянь можна вирішувати різними методами. Наприклад, функція nnls дозволяє вирішувати системи рівнянь методом найменших квадратів з обмеженнями.

Дослід№9. Пошук мінімуму функції

У цьому досліді ми розповімо, як мінімізувати функцію однієї змінної.

При оптимізації функції необхідно вказати інтервал, у якому знаходиться мінімум функції. Цей інтервал зручно визначати за графіком функції. Спочатку побудуємо графік функції cos(x)/x, що підлягає мінімізації.

• Уведіть рядок х=1:0.2:20;, щоб визначити діапазон зміни аргументу функції при побудові графіка.

• Натисніть клавішу Enter.

• Наберіть на клавіатурі рядок y=cos(x)./x; для завдання функції, що описує графік.

• Натисніть клавішу Enter.

• Уведіть рядок plot(x,y); для побудови графіка функції (див. дослід "Побудова графіків і діаграм".

• Натисніть клавішу Enter. На екрані з'явиться вікно з необхідним графіком (Рис.13).

Рис. 13. Графік функції для пошуку мінімуму

За графіком можна помітити, що мінімум функції розташований в інтервалі між 2 і 5.

• Клацніть мишею на кнопці [х] у правому верхньому куті вікна з графіком, щоб закрити вікно.

• Тепер знайдемо мінімум функції.

• Наберіть на клавіатурі рядок z=fmin('cos(x)./х', 2, 5). Вбудована функція fmin обчислює мінімум вираження cos(x)./x в інтервалі від 2 до 5.

• Натисніть клавішу Enter. У вікні програми з'явиться виявлений мінімум функції (Рис. 14)

Рис.14. Мінімізація функції

За допомогою вбудованих функцій fmins і leastsq можна мінімізувати функції декількох змінних, використовуючи симплекс-метод і метод найменших квадратів. Відзначимо, що для пошуку максимуму досить поставити мінус перед розглянутими функціями

Дослід№10. Пошук кореня нелінійного рівняння

У цьому досліді ми розповімо, як вирішувати нелінійне рівняння.

Будемо шукати корінь рівняння 0.5*x+cos(x)-1=0. При рішенні рівняння в програмі MATLAB необхідно задати наближене значення кореня, що легко визначити за графіком. Давайте побудуємо графік нелінійної функції, що представляє рівняння.

• Уведіть рядок х=0.1:0.1:5;, щоб визначити діапазон зміни аргументу функції при побудові графіка.

• Натисніть клавішу Enter.

• Наберіть на клавіатурі рядок y=0.5*x+cos(x)-1; для завдання функції, що описує графік.

• Натисніть клавішу Enter.

• Уведіть рядок plot(x,y); для побудови графіка функції (див. дослід "Побудова графіків і діаграм").

• Натисніть клавішу Enter. На екрані з'явиться вікно з необхідним графіком (Рис. 15).

Рис. 15. Графік функції для пошуку кореня

За графіком можна помітити, що один з коренів рівняння у(х)=0 розташований поблизу від х=4. ;

Клацніть мишею на кнопці [х] у верхньому куті вікна з графіком, щоб закрити вікно.

Тепер знайдемо корінь необхідного рівняння

Уведіть рядок z=fzero('0.5*x+cos(x)-1', 4). Вбудована функція fzero визначає значення х, при якій функція 0.5*x+cos(x)-1 дорівнює 0, при початковому значенні пошуку кореня х=4.

Натисніть клавішу Enter. У вікні програми з'явиться значення кореня зазначеного рівняння (Рис. 16).

Рис. 16. Корінь нелінійного рівняння

Слід зазначити, що для рішення системи нелінійних рівнянь досить скористатися вбудованою в програму MATLAB функцією solve (Обчислити).