2. Функция. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.

Понятие функции. Определение предела функции в точке по Коши. Теоремы о пределах. Единственность предела. Два замечательных предела.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Непрерывность элементарных функций в области их определения. Точки разрыва.

Теоремы Больцано-Коши и теоремы Вейерштрасса о функциях, непрерывных на отрезке. Обоснование метода интервалов с помощью теоремы Коши и её применение в методе половинного деления.

3. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Предел числовой последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Предел последовательности стягивающихся отрезков.

Ограниченные и неограниченные множества. Границы и грани числовых множеств. Аксиома непрерывности множества R.

Понятие числовой последовательности. Монотонные, ограниченные последовательности. Предел функции на бесконечности и предел последовательности.

Теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности и ее применение. Теорема о пределе последовательности стягивающихся отрезков.

4. Показательная функция. Её основные свойства. Разложение в степенной ряд. Показательная функция в комплексной области. Формулы Эйлера.

Определение экспоненты. Её функциональное свойство (теорема сложения) и другие основные свойства. График экспоненты. Показательные функции с произвольным основанием. Их свойства и графики.

Теорема о достаточном условии разложения некоторого класса функций в степенные ряды. Использование этой теоремы для разложения в степенной ряд экспоненты. Вычисление значений экспоненты с помощью степенных рядов (в частном случае – числа e).

Определение в комплексной плоскости функций Новые свойства экспоненты. Формулы Эйлера.

5. Функция натурального логарифма и ее основные свойства. Разложение в степенной ряд. Вычисление логарифмов с помощью степенных рядов. Логарифмические функции с произвольным основанием. Их свойства и графики.

Понятие обратной функции. Определение функции натурального логарифма. Основные свойства и график этой функции. Определение логарифмических функций с произвольным показателем. Их основные свойства и графики. Модуль перехода.

Теорема об интегрировании степенных рядов. Использование этой теоремы при разложении в ряд функции ln (1 + x). Область сходимости полученного ряда. Вычисление логарифмов с помощью степенных рядов.

Определение логарифмических функций с произвольным показателем. Их основные свойства и графики. Модуль перехода.

6. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение функций sin X и cos X в степенные ряды. Синус и косинус в комплексной области.

Определения и основные свойства тригонометрических функций, их графики. Непрерывность и дифференцируемость.

Теорема о достаточном условии разложения функции в ряд Тейлора. Разложение в степенные ряды синуса и косинуса. Вычисление значений тригонометрических функций с помощью степенных рядов.

Определение функций sin z и cos z в комплексной плоскости, их область определения, четность и нечетность. Связь синуса и косинуса с экспонентой. Выполнение в комплексной плоскости всех, известных ранее, свойств тригонометрических функций в R.

Гиперболические функции в комплексной плоскости и их связь с тригонометрическими функциями. Неограниченность функций sin z и cos z по модулю.