- •Вопросы к междисциплинарному государственному экзамену по математике
- •Раздел 1. Алгебра
- •2. Группы. Примеры групп. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп.
- •3. Кольцо и поле. Простейшие свойства колец и полей. Примеры. Числовые поля. Подкольцо и идеал кольца.
- •4. Полукольцо натуральных чисел и кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел.
- •5. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
- •7. Матрицы и определители. Кольцо квадратных матриц n-го порядка. Определитель произведения матриц. Обратимые матрицы.
- •8. Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Решение методом Гаусса. Однородные системы линейных уравнений. Подпространство решений однородной системы.
- •14. Многочлены над полем рациональных чисел, их целые и рациональные корни. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа.
- •15. Алгебра высказываний, предикаты и их приложения.
- •16. Интуитивное понятие алгоритма. Уточнение понятия алгоритма в виде машины Тьюринга.
- •Раздел II. Геометрия
- •1. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •2. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •3. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
- •4. Линии второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.
- •5. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве.
- •6. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Классификация движений плоскости. Приложение движений к решению задач.
- •7. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Приложение подобия к решению задач.
- •8. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Приложение аффинных преобразований к решению задач.
- •9. Проективная плоскость и ее модели. Основные факты проективной геометрии и их приложение к решению задач.
- •10. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
- •11. Полные и неполные изображения. Позиционные задачи.
- •12. Метрически определенные изображения. Метрические задачи.
- •13. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и следствия из нее. Непротиворечивость аксиоматики Вейля трехмерного евклидова пространства.
- •14. Система аксиом планиметрии Лобачевского. Основные факты планиметрии Лобачевского. Непротиворечивость аксиоматики планиметрии Лобачевского.
- •15. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теоремы существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
- •16. Поверхности в евклидовом пространстве. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
- •Раздел III. Математический анализ
- •1. Понятие мощности множества. Счётные множества и их свойства. Счётность множеств рациональных и алгебраических чисел. Несчётные множества.
- •2. Функция. Предел и непрерывность функции в точке. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •3. Существование верхней грани ограниченного сверху множества. Предел числовой последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности. Предел последовательности стягивающихся отрезков.
- •4. Показательная функция. Её основные свойства. Разложение в степенной ряд. Показательная функция в комплексной области. Формулы Эйлера.
- •6. Тригонометрические функции, их основные свойства. Разложение функций sin X и cos X в степенные ряды. Синус и косинус в комплексной области.
- •7. Определение и свойства степени. Степенная функция. Графики. Биномиальный ряд.
- •8. Дифференцируемые функции одной переменой. Геометрический и физический смысл производной. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциал.
- •9. Теорема Лагранжа. Условия постоянства, монотонности и выпуклости графика функции на промежутке. Экстремумы и точки перегиба.
- •10. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Интегрирование подстановкой и по частям. Таблица основных интегралов.
- •11. Определенный интеграл. Интегрируемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Понятие площади плоской фигуры. Вычисление площади плоской фигуры. Понятие объёма тела. Вычисление объёма тела вращения.
- •13. Спрямляемые кривые. Вычисление длины дуги. Нахождение площади поверхности вращения.
- •14. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Необходимый и достаточный признаки сходимости последовательности. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •15. Числовые ряды. Признаки сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Функциональные последовательности и ряды. Свойства функциональных рядов, связанные с их равномерной сходимостью.
- •16. Производная функций комплексной переменной. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции.
14. Многочлены над полем рациональных чисел, их целые и рациональные корни. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа.
Сведение вопроса о нахождении целых и рациональных корней многочлена с рациональными коэффициентами к их нахождению соответствующих многочленов с целыми коэффициентами.
Теоремы о целых и рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Примитивные многочлены. Теорема о примитивных многочленах. Приводимость и неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Критерий Эйзенштейна и следствие из него.
15. Алгебра высказываний, предикаты и их приложения.
Понятия высказывания и операций над ними. Операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний.
Законы логики. Логическое следование.
Использование логики высказываний в информатике.
Использование языка логики предикатов для записи отдельных определений, теорем, отношений и т.п. в математике.
16. Интуитивное понятие алгоритма. Уточнение понятия алгоритма в виде машины Тьюринга.
Интуитивное понятие алгоритма и его характерные черты.
Алгоритмически разрешимые проблемы. Примеры алгоритмически неразрешимых проблем. Методологическая сущность алгоритмической неразрешимости математических проблем.
Обоснование необходимости уточнения понятия алгоритма. Различные пути решения этой задачи.
Машина Тьюринга (МТ). Устройство МТ. Конфигурация МТ. Программа МТ. Примеры МТ.
Словарные функции. Вычислимые по Тьюрингу словарные функции. Теорема Тьюринга.
Раздел II. Геометрия
1. Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
Дать определение скалярного произведения двух векторов. Сформулировать и доказать его геометрические свойства. Сформулировать и доказать его алгебраические свойства. На основании алгебраических свойств вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов в координатах. Рассмотреть приложения скалярного произведения в геометрии и физике (расстояния, углы, перпендикулярность, работа силы). Рассмотреть решение конкретной содержательной школьной задачи с помощью скалярного произведения.
2. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
Дать определение векторного произведения двух векторов. Сформулировать и доказать его геометрические свойства (в том числе и теорему о геометрическом смысле векторного произведения). Сформулировать и доказать его алгебраические свойства. Вывести формулу для вычисления векторного произведения в координатах. Рассмотреть приложения векторного произведения в геометрии и физике (площади параллелограмма, треугольника; коллинеарность векторов; момент силы).
3. Смешанное произведение векторов, его свойства, вычисление и приложения к решению задач.
Дать определение смешанного произведения трех векторов. Сформулировать и доказать геометрические свойства смешанного произведения (в том числе и теорему о геометрическом смысле смешанного произведения). Сформулировать и доказать его алгебраические свойства. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения в координатах. Рассмотреть приложения смешанного произведения (объемы параллелепипеда, треугольной призмы, тетраэдра; компланарность векторов).