5. Основные задачи анализа систем с минимальной средней квадратичной ошибкой: задача фильтрации, задача экстраполяции, задача дифференцирования и др.

Объект управления - устройство (совокупность устройств), осуществляющее технический процесс, который нуждается в оказании специально организованных воздействий извне для выполнения его алгоритма функционирования. Управление - процесс осуществления воздействий, соответствующих алгоритму управления. Алгоритм функционирования - совокупность предписаний, ведущих к правильному выполнению технического процесса в каком-либо устройстве или совокупности устройств (системе). Алгоритм управления - совокупность предписаний, определяющая характер воздействий извне на управляемый объект с целью выполнения им заданного алгоритма функционирования.

Задача заключается в том, чтобы показать, каким образом может быть найдена оптимальная передаточная функция по заданным функциям спектральной плотности полезного сигнала и помехи для ряда конкретных случаев.

Задача прогнозирования – способ нахождения при отсутствии помех [n(t)=0] передаточной функции ф(jw) системы, дающей минимум среднего значения квадрата ошибки между величиной z(t) на выходе в момент времени t и величиной m(t+t₀) на входе в некоторый момент времени t₀.

y(t)=m(t+t₀); L(jw)= ; S_xy(w)=S_ym(w)= S_m(w); S_x(w)=S_m(w);

; .

Оптимальная передаточная функция принимает вид:

Задача фильтрации – способ определения передаточной функции, обеспечивающей минимум среднеквадратической ошибки воспроизведения полезного сигнала m(t) при наличии помехи n(t). Предполагаем, что корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует.

y(t)=m(t); S_x(w)=S_m(w)+S_n(w); S_yx(w)=S_mx(w)=S_m(w);

Оптимальная передаточная функция примет вид:

Выражение для минимального среднего значения квадрата ошибки сглаживания

Задача дифференцирования – дающей производную от сигнала, загрязненного помехой. Задача имеет значение при проектировании и расчете следящих систем дифференцирующего типа. Предположим, что на полезный сигнал m(t), содержащий низкие частоты, накладывается высокочастотная помеха n(t), т.е. на вход дифференцирующего устройства поступает суммарный сигнал x(t)=m(t)+n(t).

Если дифференцирующее устройство имеет широкую полосу пропускания и на выходе дает точную производную от x(t), т.е. определяет величину dx/dt, то сигнал на выходе будет в основном определяется не производной полезного сигнала, а помехой. Если же выбрать полосу частот пропускания слишком узкую, то не учтем действительный характер изменения входного сигнала. Таким образом, по-видимому, существуют некоторые оптимальные условия. Из критерия минимума среднего значения квадрата ошибки, характеризующей в данном случае точность дифференцирования, эти условия будут определятся минимумом выражения.

; L(jw)=jw; S_x(w)=S_m(w)+S_n(t); S_yx(w)=jw*S_m(w)

Оптимальная передаточная функция дифференциатора имеет вид: