4. Системы управления при случайных воздействиях. Преобразование стационарного случайного сигнала стационарной линейной динамической системой.
Объект управления - устройство (совокупность устройств), осуществляющее технический процесс, который нуждается в оказании специально организованных воздействий извне для выполнения его алгоритма функционирования. Управление - процесс осуществления воздействий, соответствующих алгоритму управления. Алгоритм функционирования - совокупность предписаний, ведущих к правильному выполнению технического процесса в каком-либо устройстве или совокупности устройств (системе). Алгоритм управления - совокупность предписаний, определяющая характер воздействий извне на управляемый объект с целью выполнения им заданного алгоритма функционирования.
Системы управления при случайных воздействиях
f
u система y Обобщённая структурная схема системы управления.
В статистической модели процесс управления зависит от наличия случайных факторов и характеризуется статистическими характеристиками.
Исследование систем управления при случайных воздействиях проводят при помощи специальных статистических методов, вводя в рассмотрение определенные количественные оценки случайных воздействий – статистические характеристики случайных воздействий, которые характеризуя случайные воздействия, сами по себя являются уже неслучайными зависимостями. Система управления, спроектированная на основе статистических методов, будет обеспечивать удовлетворение предъявленных к ней требования не для одного определенного воздействия, а для целой совокупности воздействий, заданных при помощи статистических характеристик.
Преобразование стационарного случайного сигнала стационарной линейной динамической системой.
Стационарная линейная динамическая система описывается линейными уравнениями или дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами:
L(система)
Для линейной системы Y(t)=L [X(t}], где L—линейный оператор.
Пусть
на вход системы подан стационарный
случайный процесс
X(t),
имеющий математическое ожидание mx(t)
и Центрированную
корреляционную функцию
.
Поскольку линейная система стационарна, то есть ее параметры стационарны, то выходной сигнал также будет стационарным случайным процессом.
Определим статистические характеристики выходного сигнала по известным характеристикам входного сигнала.
Представим X(t) в виде канонического разложения в комплексной форме (комплексного ряда Фурье):
где
-
комплексный коэффициент разложения,
случайная величина;
частота
k
– ой гармоники.
Поскольку входной сигнал подвергается линейному преобразованию, преобразованиям будут подвергаться только неслучайные функции канонического разложения.
Пусть система описывается лин. диф. уравнением с постоянными коэф.:
(1)
Пусть на выход поступает сигнал
X(t)=
Подставив
эти функции в (1) и сократив на
,
получим:
Где:
Тогда
частотная характеристика системы
характеризует реакцию системы на
гармонические функции.
Пусть
на выход системы поступает сигнал
Где
=
Реакция
системы на сигнал
:
Реакция
на сигнал
:
обозначим
Воспользуемся
каноническим разложением, найдем
центрированную корреляционную функцию
выходного сигнала:
где
т.к.
-
неслучайная функция, то обозначив
получим
=
тогда
где
Т.к
ср.плотность дисперсии
то
;
тогда
при
имеем
но
поэтому
Полученные выражения позволяют определить характеристики выходного сигнала по следующей схеме:
