2. Математические модели объектов управления в системах управления. Формы представления моделей объектов в системах управления.

Объект управления - устройство (совокупность устройств), осуществляющее технический процесс, который нуждается в оказании специально организованных воздействий извне для выполнения его алгоритма функционирования. Управление - процесс осуществления воздействий, соответствующих алгоритму управления. Алгоритм функционирования - совокупность предписаний, ведущих к правильному выполнению технического процесса в каком-либо устройстве или совокупности устройств (системе). Алгоритм управления - совокупность предписаний, определяющая характер воздействий извне на управляемый объект с целью выполнения им заданного алгоритма функционирования.

Математические модели объектов управления в системах управления

Передаточное функциональное звено – отношение изображения Лапласа выходной функции к входному воздействию при нулевых начальных условиях. W(p)=Y(p)/U(p)|0 н.у. Передаточная функция звена есть математическое выражение показывающее динамические свойства звена через его параметры. Эталонная передаточная функция – отношение изображения Лапласа требуемой выходной функции к заданному входному воздействию при нулевых начальных условиях.

f

u y Обобщённая структурная схема объекта.

ОУ

Анализ и синтез САУ проводят по дифференциальным или интегродифференциальным уравнениям, определяющим поведение систем в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действий. Уравнения называются уравнениями динамики, если они описывают изменения входящих в них переменных во времени. Из уравнений динамики обычно можно получить уравнения статики, если положить все входящие в них производные и воздействия равными нулю или некоторым постоянным величинам. Уравнения статики описывают поведение систем в установившемся режиме.

Диф. уравнение общего вида в 3-х координатной системе: нелинейность функции F несущественна, т.е. аналитическая нелинейная функция в области малых приращений. Если F и все её производные однозначны и непрерывны, то при малых отклонениях координат она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произвольно выбранной базовой точки (n+m+k+3)-мерного пространства (для САР эта точка соответствует установившемуся режиму):

где

т ак как выбранная точка (y₀, u₀, ₀) – установившийся режим работы, где производные координат равны нулю, для приращений начальные условия будут нулевыми. Ф – сумма членов ряда Тейлора высшего порядка малости и ими можно пренебречь (для устойчивых САУ отклонения переменных малы, ибо этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы). Уравнение установившегося режима есть уравнение статического равновесия системы. Для того чтобы получить линеаризованное уравнение первого приближения для системы, необходимо из уравнения возмущённого состояния вычесть уравнение установившегося состояния и отбросить нелинейные члены Ф ряда Тейлора. Опустим знак , считая y, u и  отклонениями от их установившихся значений, и запишем линеаризованное дифференциальное уравнение системы для окрестности точки (y₀, u₀, ₀): Из этого дифференциального уравнения можно получить уравнение установившегося режима для приращений переменных (уравнение статики для приращений переменных).

Формы представления моделей объектов в системах управления Два вида математических моделей, - это математические модели систем в пространстве состояний, и математические модели "вход - выход" или структурированные модели. В первом случае все переменные системы представляются в виде пространственных векторов, и поведение системы рассматривается в евклидовых пространствах управляющих, управляемых и возмущающих переменных, а также в пространстве состояний внутренних переменных или просто в пространстве состояний. Как правило, не все обобщенные координаты объекта х используются для формирования управляющих воздействий, поэтому в рассмотрение вводится вектор управляемых или регулируемых величин объекта у, размерность которого меньше или равна размерности вектора х. Функциональная взаимосвязь между у и х линейных и линеаризованных объектов задается выражением (1.17), где С – квадратная или прямоугольная матрица. Выражение (1.17) показывает, что любая регулируемая величина y является линейной комбинацией от обобщенных координат объекта xi. Для получения полной математической модели системы управления необходимо ввести уравнения, описывающие поведение устройства управления. Для линейных систем такое управление задается в виде

U = - Lx (1.18) U = - My

где L, М - прямоугольные или квадратные матрицы управления. Уравнение (1.18) реализует принцип обратной связи. Причем знак минус перед правой частью уравнений (1.18) указывает, что обратная связь является отрицательной и управляющий сигнал всегда стремится возвратить систему к ее установившемуся состоянию, из которого она выходит под действием возмущений. Получим математическую модель системы управления, описывающую ее свойства в пространстве состояний:

(1.20) y = Cx Отсюда следует, что математическая модель системы управления представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, записанных в форме Коши. Наряду с математическими моделями в пространстве состояний широко используются математические модели "вход-выход", у которых вместо обобщенных координат вводятся входная u (управляющая) и выходная у (управляемая) координаты. Такие математические модели целесообразно использовать для одномерных систем, когда и и у являются скалярами. В этом случае дифференциальное уравнение, связывающее выходную и входную переменные, будет выглядеть следующим образом: где a0, a1,..., an; b0, b1,..., bm - постоянные коэффициенты; п – порядок системы. Для реальных физически реализуемых систем управления т < п. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка (1.21) эквивалентно системе n линейных уравнений первого порядка (1.20). Для того, чтобы установить правила перехода от (1.20) к (1.21), примем в (1.20) хп = y; f1 = f2 = fk = 0 Продифференцируем второе уравнение (1.22) После преобразований получим Выразим х1 из второго уравнения системы (1.22) и подставим его в (1.23). Окончательно будем иметь линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Приравнивая коэффициенты при одинаковых производных, получим соотношения между коэффициентами уравнений (1.21) и (1.24): Выражения (1.25) позволяют установить, что обратный переход от (1.21) к (1.19) неоднозначен, так как часть коэффициентов матриц А и В можно выбирать произвольно. Исследование системы (1.19) или уравнения (1.21) сводится, в первую очередь, к их решению или к задаче Коши.