14. Бинарные функции алгебры логики.
15, 16, 17
15. Суперпозиции и формулы. Глубина формулы. Способы записи формул.
Суперпозиция
функций
— функция
,
полученная с помощью подстановок этих
функций друг в друга и переименования
переменных, а формула
— выражение, описывающее эту суперпозицию.
#: Функция
является суперпозицией функций ¬ и
.
Способы записи формул. Существует 3 вида записи выражений:
Инфиксная — оператор между операндами (x
).Префиксная (обратная польская запись, ОПЗ) — оператор перед операндами (
).Постфиксная (прямая польская запись, ППЗ) — оператор после операндов (
).
Пусть
дана формула
.
Тогда формула
имеет глубину
,
где
и
глубина формул
и
.
Говорят что
получена суперпозицией f,fi,fj.
Функцию
называют внешней (главной)
операцией
.
,
— подформулы
.
16. Эквивалентные формулы. Способы установления эквивалентности формул.
См. вопрос 7.
17. Полнота и замкнутость системы функций. Функционально полные базисы. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.
Бу́лева фу́нкция от n переменных —отображение В^n → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества 1 и 0.
Система булевых функций {f1, f2, …, fm} называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции этой системы с помощью составления из них сложных функций. Составление сложных функций из элементарных функций системы называется суперпозицией.
Пусть К – некоторое подмножество элементарных функций. Замыканием подмножества К называется множество булевых функций, представимых в виде формул через функции К. Обозначение замыкания : [K].
Базис это набор операций, через которые можно выразить все остальные операции. Множество функций C = { x1, x1x2, x1x2x3, ..., x1x2...xn } образует замкнутый класс конъюнкции.
ФПБ: Система булевых функций W называется функционально-полной, если произвольная булева функция вида f (x1, x2, ..., xn) может быть представлена суперпозицией функций x1, x2, ... ,xn и суперпозицией конечного числа функций системы W.
{°} (Функция Вебба),
{½} (штрих Шеффера);
{®, 0}, { ®, 1}, { &, Å, 1} и другие.
Наиболее изученным является базис {&, Ú, Ø}.
Классы Поста: Замкнутый класс в теории булевых функций — такое множество P функций алгебры логики, замыкание которого относительно операции суперпозиции совпадает с ним самим: [P] = P. Другими словами, любая функция, которую можно выразить формулой с использованием функций множества P, снова входит в это же множество.
Класс
T0 функций, сохраняющих константу 0:
Класс
T1 функций, сохраняющих константу 1:
Класс
S самодвойственных функций:
Класс M монотонных функций;Класс L линейных функций;
Система булевых функций F является полной тогда и только тогда, когда она не содержится полностью ни в одном из классов, т.е. когда в ней имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая 0, хотя бы одна функция, не сохраняющая 1, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.
18, 19, 20, 21, 22