9. Следование и равносильность формул.

См. вопрос 7 — равносильность, вопрос 8 — следование.

10. Нахождение следствия для данных посылок.

Теорема. Формула , не являющаяся тавтологией, тогда и только тогда будет логическим следствием формул , …, , не все из которых являются тавтологиями, когда все СД-одночлены из разложения в СКНФ входят в СКНФ формулы .

Доказательство.

Необходимость. Дано: . Тогда . Найдем СКНФ для и . Такая форма для каждой необщезначимой формулы существует и единственна с точностью до порядка СД-одночленов в конъюнкции. Пусть — СКН-форма для , а — СКН-форма для ( , ).

Допустим, что заключение теоремы не выполняется, т. е. среди СД-одночленов есть такой, которого нет среди СД-одночленов . Не нарушая общности, за такой одночлен можно принять . Итак, , …, . Тогда существует единственный (с точки зрения логических значений) набор , на котором СД-одночлен принимает значение 0: . (1)

Этот набор выбирается следующим образом. Если переменная входит в без знака отрицания, то ; если входит в со знаком отрицания, то ( ). Каждый из СД-одночленов в силу его отличия от СД-одночлена обращается на данном наборе в 1: , …, . Тогда , откуда, в силу равносильности , получаем . Следовательно, , а значит, , …, . (2)

Соотношения (1) и (2) противоречат условию: . Следовательно, в СКН-форме формулы нет ни одного СД-одночлена, который отсутствовал бы в СКН-форме формулы .

Достаточность. Пусть — СКН-форма формулы . Тогда . Если при некоторой подстановке формула принимает истинное значение, то и равносильная ей формула принимает значение 1. Следовательно, и все члены . Значит,

Эта теорема определяет следующий алгоритм для нахождения всех (неравносильных) формул, являющихся логическими следствиями из посылок :

1) Cоставить конъюнкцию .

2) Найти СКН-форму формулы .

3) Выписать все конъюнкции СД-одночленов найденной СКН-формы. Полученное множ. формул и явл. искомым.

11, 12, 13

11. Нахождение посылок для данного следствия.

Теорема. Для нахождения формул, являющихся посылками для : найти СКН-форму формулы ; выявить отсутствующие в ней СД-одночлены; составить всевозможные коньюнкции формулы с недостающими дизьюнктивными одночленами. Получившаяся совокупность формул (вместе с формулой G) будет искомой.

Доказательство. Ясно, что из каждой формулы этой совокупности будет логически следовать формула , т. к. . Обратно, покажем, что каждая формула , из которой логически следует данная формула , представляет собой коньюнкцию формулы G и некоторых СД-одночленов, отсутствующих в СКН-форме для .

Пусть , — СКН-форма для и — СКН-форма для ).

По определению логического следования, означает, что если на некотором наборе значений ПП приняла значение 1, то и формула на этом наборе примет значение 1. Если на , то и на этом наборе ПП. Но все наборы значений переменных, на которых , находятся во взаимно-однозначном соответствии с СД-одночленами , образующими СКН-форму для , т.е. если , то для некоторого .

Следовательно, , значит на наборе некоторый СД-одночлен , входящий в СКН-форму . Тогда одночлен совпадает с . Т. о., каждый СД-одночлен из СКН-формы входит в СКН-форму , т. е. СКН-форма имеет вид: , где — СД-одночлены от переменных , не входящие в СКН-форму .