65. Машина Тьюринга. Конфигурация машины Тьюринга. Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу. Эквивалентные машины Тьюринга. Композиция машин Тьюринга.
Машина Тьюринга:
управляющего устройства, которое может находиться в одном из состояний, образующих конечное множество Q = {q1, …, qn};
ленты, разбитой на ячейки, в каждой из которых может быть записан один из символов конечного алфавита А = {а1 ..., аm};
устройства обращения к ленте, т. е. считывающей и пишущей головки, которая в каждый момент времени обозревает ячейку ленты, в зависимости от символа в этой ячейке и состояния управляющего устройства записывает в ячейку символ, сдвигается на ячейку влево или вправо или остается на месте; при этом управляющее устройство переходит в новое состояние (или остается в старом)
Среди состояний выделены начальное состояние q1 и заключительное состояние qz
Память машины Тьюринга — это конечное множество состояний (внутренняя память) и лента (внешняя память).
Лента бесконечна в обе стороны
Данные машины Тьюринга — это слова в алфавите ленты; на ленте записываются и исходные данные, и окончательные результаты.
Элементарные шаги машины — это считывание и запись символов, сдвиг головки на ячейку влево и вправо, а также переход УУ в следующее состояние.
Конфигурация машины Тьюринга:
Полное состояние машины Тьюринга определяется ее внутренним состоянием, состоянием ленты (т.е. словом, записанным на ленте) и положением головки на ленте.
Полное состояние будем называть конфигурацией, или машинным словом, и обозначать тройкой a1qia2, где qi — текущее внутреннее состояние, a1 — слово слева от головки, а a2 — слово, образованное символом, обозреваемым головкой, и символами справа от него, причем слева от a1 и справа от a2 нет непустых символов.
Стандартной начальной конфигурацией назовем конфигурацию вида q1a
Стандартной заключительной конфигурацией назовем конфигурацию вида qza
Ко всякой незаключительной конфигурации К машины Т применима ровно одна команда, которая К переводит в конфигурацию К‘:
Последовательность конфигураций однозначно определяется исходной конфигурацией K1 и полностью описывает работу машины Т, начиная с K1. Она конечна, если в ней встретится заключительная конфигурация, и бесконечна в противном случае.
Функция, правильно вычислимая по Тьюрингу:
Пусть f — функция, отображающая множество векторов над Аисх в множество векторов над Арез.
Машина Т правильно вычисляет функцию f, если:
1)
для любых V и W, таких, что f(V)
= W, выполняется q1V
Wqz,
2) для любого V, такого, что f(V) не определена, машина Т, запущенная в стандартной начальной конфигурации q1V, работает бесконечно.
Если для f существует машина Т, которая ее правильно вычисляет, функция f называется правильно вычислимой по Тьюрингу.
Всякой правильно вычисляющей машине Тьюринга можно поставить в соответствие вычисляемую ей функцию.
Две машины Тьюринга с одинаковым алфавитом Аисх эквивалентны, если они вычисляют одну и ту же функцию.
Эквивалентная машина Тьюринга – универсальная машина Тьюринга. Машина Тьюринга называется универсальной, если она может при определенных начальных входных данных вычислить любую функцию, которая вычислима на какой-либо машине Тьюринга. Иначе говоря, с учетом тезиса Тьюринга можно сказать, что универсальная машина Тьюринга способна вычислить любую вычислимую функцию.