54. Основные свойства формальных систем: непротиворечивость, полнота, разрешимость. Полнота и непротиворечивость исчисления высказываний. Полнота и непротиворечивость исчисления предикатов.
Формальная система — результат строгой формализации теории, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причем все условия, регулирующие употребление этих слов в теории, явно высказаны посредством аксиом и правил, позволяющих вывести одну фразу из других.
Теория, в которой множество теорем покрывает всё множество формул (все формулы являются теоремами, «истинными высказываниями»), называется противоречивой. В противном случае теория называется непротиворечивой.
Теория
называется полной,
если в ней для любой формулы F выводима
либо сама F,
либо ее отрицание 
.
В противном случае, теория
содержит недоказуемые
утверждения (утверждения,
которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть
средствами самой теории), и
называется неполной.
Теория называется разрешимой, если в ней понятие теоремы эффективно, то есть существует эффективный процесс (алгоритм), позволяющий для любой формулы за конечное число шагов определить, является она теоремой или нет.
Исчисление высказываний (ИВ) – формальная теория.
ИВ называется непротиворечивым, если не все формулы в нем доказуемы.
Множество формул Ф называется полным, если можно доказать либо Ф├ В, либо Ф├ ¬В.
А
что такое полнота исчисления предикатов?
Это утверждение о том, что любая
общезначимая формула выводима в
исчислении предикатов, то есть
.
То есть вывести можно
всё, что истинно всегда и везде.
Или
сильная форма утверждения о полноте
исчисления предикатов (когда добавляются
аксиомы теории).
.
Непротиворечивость - ни одна формула не может быть выведена одновременно со своим отрицанием.
55, 56
55. Прикладные исчисления предикатов. Формальная арифметика. Теорема Генцена о непротиворечивости формальной арифметики.
Формальная арифметика – эгалитарное прикладное исчисление, в котором дополнительно имеются:
предметная константа 0
двуместные операции + и * и одноместная операция ‘.
знак равенства =
нелогические аксиомы равенства и следующие нелогические аксиомы арифметики:
где А – любая формула, а t, t1, t2 – любые термы (переменные для объектов).
Теорема Генцена: непротиворечивость формальной арифметики доказывается в более широкой формальной теории, содержащей арифметику и принцип трансфинитной индукции.
56. Теоремы о неполноте формальных систем, смысл и значение теорем Геделя для практической информатики.
Для произвольной непротиворечивой формальной и вычислимой теории, в которой можно доказать базовые арифметические высказывания, может быть построено истинное арифметическое высказывание, истинность которого не может быть доказана в рамках теории. Другими словами, любая вполне полезная теория, достаточная для представления арифметики, не может быть одновременно непротиворечивой и полной.
Для любой формально рекурсивно перечислимой (то есть эффективно генерируемой) теории <math>T</math>, включая базовые арифметические истинностные высказывания и определённые высказывания о формальной доказуемости, данная теория <math>T</math> включает в себя утверждение о своей непротиворечивости тогда и только тогда, когда теория <math>T</math> противоречива.
Гёдель показал, что в большинстве случаев таких, как теория чисел или математический анализ, невозможно создать полный и непротиворечивый список аксиом, либо даже перечислимый бесконечный список, который мог бы быть получен при помощи компьютерной программы. В каждом случае, когда высказывание добавляется в формальную систему в качестве аксиомы, всё ещё остаются другие истинные высказывания, которые не могут быть доказаны при помощи получившейся системы аксиом. Более того, если в рамках системы можно доказать её непротиворечивость, то такая система по необходимости противоречива.
Теорема Гёделя имеет другую интерпретацию в рамках информатики. В логике первого порядка теоремы вычисляются перечислимым способом — можно создать программу, которая сгенерирует валидное доказательство для любого высказывания. Можно спросить, является ли строгим свойство рекурсивности? Т. е. можно ли написать программу, которая для произвольного утверждения скажет, истинно оно или ложно. Теорема Гёделя утверждает, что в общем случае такую программу написать невозможно.
57, 58, 59, 60, 61