46. Применение логики предикатов в логико-математической практике.

1. Запись на языке логики предикатов различных математических предложений.

2. Применение ЛП к логико-математической практике — построение доказательств различных теорем, основанное на теории логического следования.

3. Приложение логики предикатов к теории множеств, к анализу Аристотелевой силлогистики.

Запись на языке логики предикатов различных математических предложений:

• Необходимо осмыслить предложение.

• Отчетливо выделить в нем посылки и следствие (если это теорема).

• Очерчивать более широкий круг понятий и четко выделять ограничивающее условие (если это определение).

47, 48, 49

47. Классификация высказываний по Аристотелю.

Содержание любого простого высказывания («категорического суждения») может быть сведено к утверждению о наличии или отсутствии у предметов определенных свойств. Утверждения могут относиться как к отдельным предметам, так и к классам предметов; быть утвердительными и отрицательным.

Шесть типов простых высказываний

• единичноутвердительные единичноотрицательные

• общеутвердительные общеотрицательные

• частноутвердительные частноотрицательные

По традиции типы высказываний, относящихся к классам предметов, обозначаются гласными буквами латинского алфавита

• A — общеутвердительные

• E — общеотрицательные

• I — частноутвердительные

• O — частноотрицательные

48. Методы рассуждений. Аристотелева силлогистика. Теоретико-множественная интерпретация аристотелевой силлогистики

Аристотель выделил важнейший тип дедуктивных умозаключений — силлогизмы.

Аристотелев силлогизм — схема логического вывода, состоящая из 3 простых высказываний 1 из 4-х указанных видов A, E, I, O: 2 первых — посылки, 3 — заключение.

Структура умозаключения. В них рассматриваются 3 свойства (термины): , , . Первая посылка (большая) — простое высказывание, связывающее и . Вторая посылка (малая) связывает и . Следствие связывает и , причем в следствии выступает в качестве субъекта, а — в качестве предиката. В зависимости от расположения может быть 4 вида фигуры силлогизмов.

49. Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме

Теорема об обратимости импликаций

Пусть справедливо следующее (m ³ 2):

("x)(P₁(x) ® Q₁(x)), ("x)(P₂(x) ® Q₂(x)), ... , ("x)(P_m(x) ® Q_m(x)).

Причем для посылок известно, что истинно утверждение ("x)(P₁(x) Ú P₂(x) Ú ... Ú P_m(x)), а следствия попарно исключают друг друга, т.е. истинны все высказывания Ø($x)(Q_i(x) Ù Q_j(x)) (i, j=1,…, m, i ¹ j).

Тогда справедливы и обратные импликации:

("x)(Q₁(x) ® P₁ (x)), ("x)(Q₂(x) ® P₂(x)), ... , ("x)(Q_m(x) ® P_m(x)).

(Предполагается, что все предикаты заданы над одним и тем же множеством)

Теорема.

Пусть справедливо следующее:

("x)(P(x) ® Q₁(x)), ("x)(ØP(x) ® Q₂(x)), причем следствия Q₁(x) и Q₂(x) исключают друг друга, т.е. истинно высказывание Ø($x)(Q₁(x) Ù Q₂(x)).

Тогда справедливы обратные теоремы:

("x)(Q₁(x) ® P(x)), ("x)(Q₂(x) ® ØP(x)).

50, 51, 52