33. Кванторные операции. Свободные и связанные вхождения переменных. Логический квадрат.

• Пусть P(x) — предикат, определенный на M

• «для всех x из M P(x) истинно» обозначается "x P(x) Знак "x называется квантором общности; другое его обозначение (x).

• Высказывание «существует такой x из M, что P(x) истинно» обозначается $x P(x). Знак $ x называется квантором существования.

• Переход от P(x) к "x P(x) или $x P(x) называется связыванием переменной x, а также навешиванием квантора на переменную x (или на предикат P), иногда — квантификацией переменной x.

• Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной; несвязанная переменная называется свободной.

34. Численные кванторы. Ограниченные кванторы.

Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Предика́т (n-местный, или n-арный) — это функция с областью значений {0,1} (или «Истина» и «Ложь»), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким образом, каждую n-ку элементов M он характеризует либо как «истинную», либо как «ложную».

В математике часто встречаются выражения вида «по меньшей мере n» («хотя бы n»), «не более чем n», «n и только n», где n– натуральное число. Эти выражения, называемые численными кванторами. Огрниченный квантор- квантор, используемый для характеризации предикатов не на всей области изменения данной предметной переменной, а на ее части, выделяемой нек-рым предикатом R(х). При использовании в качестве О. к. всеобщности квантор и существования.

35. Множество истинности предикатов. Равносильность и следование предикатов.

Предикатом называется предложение, содержащее одну или несколько переменных, при подстановке в которые конкретных значений, предложение обращается в высказывание. ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Две формулы А и В являются равносильными на области М, если они принимают одинак логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М. Иначе, предикаты P(x₁, …,x_n) и Q(x₁, …,x_n) равносильны тогда и только тогда, когда P⁺ = Q⁺. Предикат Q(x₁, …,x_n) заданный над множествами M₁ , M₂,… , M_n называется следствием предиката P(x₁, …,x_n), заданного над теми же множествами, если он превращается в истинное высказывание на всех тех наборах значение предметных переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание превращается предикат P(x₁, …,x_n).

Иначе, предикат Q является следствием предиката P (P Þ Q) тогда и только тогда, когда P⁺ Í Q⁺.

36, 37, 38

36. Семантика языка логики предикатов, интерпретация формул. Три ситуации при логической интерпретации формул логики предикатов. Проблемы получения истинных формул и проверки формулы на истинность. Эквивалентные соотношения логики предикатов.

Превращение формулы логики предикатов в высказывание при подстановке вместо предикатных переменных конкретных предикатов, определенных на некотором выбранном множестве M, и, далее, вместо предметных переменных конкретных предметов, называется интерпретацией этой формулы на множестве M.

1. Если в М для F существует такая интерпретация, что F становится истинным (ложным) высказыванием, то формула F называется выполнимой (опровержимой) в области М. Если существует область М, где F выполнима, то F называется просто выполнимой.

2. Если формула F выполнима в М при любых интерпретациях, то она называется тождественно истинной в М. Формула, тождественно истинная в любых М называется тождественно истинной или общезначимой или тавтологией.

3. Если формула F невыполнима в М, она называется тождественно ложной в М. Если F невыполнима ни в каких М, она называется тождественно ложной или противоречием.

Формулы называются эквивалентными, если при любых подстановках констант они принимают одинаковые значения.