31. Предикат. Предикаты и отношения. Предикаты и функции. Предикаты и высказывания.
Предикатом P(x1, …,xn) называется функция P: Mn ® B, где M — произвольное множество, а B — двоичное множество. Иначе говоря, n–местный предикат, определенный на M, — это двузначная функция от n аргументов, принимающих значения в произвольном множестве M.
M — предметная область предиката,
x1, …,xn — предметные переменные.
N местный предика это повествовательное предложение, содержащее н предметных переменных, определяющихся каждая своим множеством. Например p(x,y), где x это валюта,y это государство.
Можно определять предикат по другому: предикат как функция P: M1 ´ M2 ´…´ Mn ® B.
Определенным на множествах M1 , M2 , … , Mn n–местным предикатом называется предложение, содержащее n переменных x1, …,xn , превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств M1 , M2 , … , Mn , соответственно.
Предикаты и высказывания
Под н-местным предикатом понимается произвольное высказывание.
Выражения P(a1, …,an), где a1, …,an ÎM, будем понимать как высказывание «P(a1, …,an) = 1» или как «P(a1, …,an) истинно», а выражение P(x1, …,xn), где x1, …,xn — переменные, как переменное высказывание
!!! P(x1, …,xn) — это логическая переменная, а x1, …,xn — нелогические переменные.
Соответствие между n–местными отношениями и n–местными предикатами
a)каждому n–местному отношению R соответствует предикат P такой, что P(a1, …,an) = 1, если и только если (a1, …,an) Î R;
б) всякий предикат P(x1, …,xn) определяет отношение R такое, что (a1, …,an) Î R, если и только если P(a1, …,an) = 1.
Соответствие между предикатами и функциями
Всякой функции f(x1, …, xn), f: Mn ® M соответствует предикат P(x1, …, xn, xn+1), P: Mn+1 ® B, такой, что P(a1, …,an, an+1) = 1, если и только если f(a1, …,an) = an+1.
Понятие предиката шире понятия функции, поэтому обратное соответствие (от (n + 1)-местного предиката к n-местной функции) возможно не всегда, а только для таких предикатов P¢ для которых выполняется условие: если P¢(a1, …,an, an+1) = 1, то для любого a¢n+1 ¹ an+1 P¢(a1, …,an, a¢n+1) = 0.
32. Синтаксис языка логики предикатов: алфавит, термы, атомы, правила построения формул.
Язык логики первого порядка строится на основе сигнатуры, состоящей из множества функциональных символов F и множества предикатных символов P. С каждым функциональным и предикатным символом связана арность, то есть число возможных аргументов. Допускаются как функциональные, так и предикатные символы арности 0. Первые иногда выделяют в отдельное множество констант. Кроме того, используются следующие дополнительные символы
Символы
переменных (обычно
и т. д.),
Пропозициональные
связки: ,
Кванторы: всеобщности и существования ,
Служебные символы: скобки и запятая.
Перечисленные символы вместе с символами из P и F образуют Алфавит логики первого порядка. Более сложные конструкции определяются индуктивно:
Терм
есть символ переменной, либо имеет вид
где f — функциональный
символ арности n, t1
tn термы. А́рность предиката
количество их аргументов, или операндов.
Атом
имеет вид
, где р — предикатный символ арности
n , а , t1 tn
— термы.
Предикатные формулы строятся с помощью логических операций и скобок.
33, 34, 35