Конспект лекций разработан доцентом кафедры ист горшковым е.А.
Тема 1. Основы математического моделирования.
Цели: сформировать представление об основных понятиях математического моделирования, функциях и подходах к описанию моделей, их классификации. Изучить основные методы исследования моделей. Методы оценки адекватности моделей.
Задачи:
изучить основные понятия математического моделирования;
рассмотреть классификацию моделей;
изучить основные методы оценки адекватности и точности моделей.
После изучения темы Вы должны знать:
основные понятия математического моделирования. Основные функции и подходы к описанию моделей;
классификацию моделей;
основные методы оценки адекватности моделей.
Моделированием называется замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта – оригинала с помощью объекта – модели.
Модель - физический или абстрактный объект, свойства которого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта. Существует ряд общих требований к моделям:
Адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;
Полнота – предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;
Гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров;
Трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.
Классификация моделей.
В основу классификации положена степень абстрагирования модели от оригинала. Различают физические и абстрактные (математические) модели (Рис.1).
Рис. 1.— Классификация видов моделей
1. Физические модели - система, эквивалентная или подобная оригиналу, но возможно имеющая другую физическую природу. Например продувка моделей самолетов в аэродинамических трубах. Физическое моделирование сопряжено с большими временными и материальными затратами. Виды Ф.М.: натуральные; квазинатуральные; масштабные; аналоговые.
Натуральные модели — это реальные исследуемые системы (макеты, опытные образцы).
Квазинатуральные модели — совокупность натуральных и математических моделей. Используется, когда модель части системы не может быть математической из-за сложности её описания (модель человека оператора) или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с другими частями, но их ещё не существует или их включение очень дорого (вычислительные полигоны, АСУ).
Масштабная модель – уменьшенные или увеличенные копии (модель самолета или корабля);
Аналоговыми моделями называют системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические и электрические системы. Аналоговое моделирование использует при исследовании средства вычислительной техники на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.
2. Математические модели. По Севостьянову А. Г. 1: «Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе».
Целью математического моделирования является анализ реальных процессов (в природе или технике) математическими методами.
Виды ММ:
1. Аналитическое моделирование - процесс функционирования элементов системы записывается в виде некоторых математических соотношений (алгебраических, интегральных, разностных и т. д.) или логических условий.
Аналитическая модель исследуется следующими методами:
1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик системы;
2) численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты, но при конкретных начальных данных;
3) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).
Введем в рассмотрение необходимые определения.
Процессом называется серия реальных операций или обработок исходных материалов.
Системой (объектом) называется процесс или часть процесса, выбранная для анализа.
Математической моделью называется приближенное описание реального процесса, выраженное с помощью математических соотношений.
2. Компьютерное моделирование – представление математической модели системы в виде программы на ЭВМ или компьютерной модели, позволяющей проводить с ней вычислительные эксперименты. Виды КМ: численное, имитационное, статистическое.
При численном моделировании для построения компьютерной модели используются методы вычислительной математики, а вычислительный эксперимент заключается в численном решении некоторых математических уравнений при заданных значениях параметров и начальных условиях (например, метод конечных разностей, - объемов, - элементов).
Имитационное моделирование (ситуационное моделирование) — метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику (например, при моделировании бизнес-процессов, регулировке дорожного, уличного движения и т.д.)
Статистическое моделирование - построение и изучение моделей реально существующих предметов, процессов или явлений (например: экономических процессов в эконометрике) с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений или показателей, интересующих исследователя.