Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теор вер сс.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
814.59 Кб
Скачать

Задачи для самостоятельного решения

1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы;

в) выключены все моторы.

Ответ. а) Р6(4) = 0,246; б) Р6(6) = 0.26; в) Р6(0) = 0,000064.

2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Ответ. Р= 0,472.

3. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

Ответ. Р=1 - [Р8(0) + Р8 (1)] = 0,19.

4. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Ответ. а) Р=7/64; б) Р=57/64.

5. Что вероятнее выиграть у равносильного противника две партии из четырех или одну партию из двух.

Ответ. Одну партию из двух.

6. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Ответ. а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62.

Занятие 8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Распределение Пуассона

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. Но пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико

Здесь при

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. .

Формула Лапласа дает хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п.

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8. Воспользуемся формулой Лапласа:

где

По таблице приложения 1 находим . Искомая вероятность

Предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Вероятность Рп (k1, k2) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k1 и не более k2 раз вычисляется с помощью интегральной теоремы Лапласа по формуле

Ф - Ф ,

где , .

Значения функции Лапласа Ф(х)= приводятся в таблице для неотрицательных значений х; для х < 0 пользуются той же таблицей, зная, что функция Ф (х) нечетна, т. е.Ф(-х)= - Ф (х). В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, а для х > 5 можно принять Ф (х) = 0,5.

Пример 2. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

а) По условию п=100; р=0,8; q=1-p=0,2; k1=75; k2=90.

Найдем х' и х''

.

По таблице найдем

.

В итоге получаем

.

б) По условию k1=75; k2=100. Тогда х'=-1,25, х''=5. По таблице найдем

.

Отсюда

Локальная теорема Лапласа непригодна, если вероятность события мала ( ). В этих случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона

Здесь сделано важное допущение: произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр = k. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.

Пример 3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, п = 5000, р = 0,0002, k = 3. Найдем :

= пр = 5000 • 0,0002 = 1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

=