
- •Методические указания
- •130501 “Проектирование, сооружение
- •Введение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи для типовых расчетов
- •Исходные данные
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задачи для самостоятельного решения
1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы;
в) выключены все моторы.
Ответ. а) Р6(4) = 0,246; б) Р6(6) = 0.26; в) Р6(0) = 0,000064.
2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.
Ответ. Р= 0,472.
3. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.
Ответ. Р=1 - [Р8(0) + Р8 (1)] = 0,19.
4. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
Ответ. а) Р=7/64; б) Р=57/64.
5. Что вероятнее выиграть у равносильного противника две партии из четырех или одну партию из двух.
Ответ. Одну партию из двух.
6. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
Ответ. а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62.
Занятие 8. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Распределение Пуассона
Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. Но пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.
Локальная теорема Лапласа позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико
Здесь
при
Имеются
таблицы, в которых помещены значения
функции
соответствующие
положительным значениям аргумента х.
Для отрицательных значений аргумента
пользуются теми же таблицами, так как
функция
четна, т. е.
.
Формула Лапласа дает хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п.
Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.
Решение. По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8. Воспользуемся формулой Лапласа:
где
По таблице приложения
1 находим
.
Искомая вероятность
Предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Вероятность Рп (k1, k2) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k1 и не более k2 раз вычисляется с помощью интегральной теоремы Лапласа по формуле
Ф
- Ф
,
где
,
.
Значения функции
Лапласа
Ф(х)=
приводятся в таблице для неотрицательных
значений х;
для х <
0 пользуются той же таблицей, зная, что
функция Ф
(х)
нечетна, т. е.Ф(-х)=
- Ф (х).
В таблице
приведены значения интеграла лишь до
х =
5, а для х >
5 можно принять Ф
(х)
= 0,5.
Пример 2. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз.
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
а) По условию п=100; р=0,8; q=1-p=0,2; k1=75; k2=90.
Найдем х' и х''
.
По таблице найдем
.
В итоге получаем
.
б) По условию k1=75; k2=100. Тогда х'=-1,25, х''=5. По таблице найдем
.
Отсюда
Локальная
теорема Лапласа непригодна, если
вероятность события мала (
).
В этих случаях (п велико, р мало)
прибегают к асимптотической формуле
Пуассона
Здесь сделано важное допущение: произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр = k. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.
Пример 3. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.
Решение.
По условию, п
= 5000, р
= 0,0002, k
= 3. Найдем
:
= пр = 5000 • 0,0002 = 1.
По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна
=