Задачи для самостоятельного решения

1. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй - 6, из третьей группы - 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?

Ответ. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59.

2. В группе из 20 стрелков имеются 5 отличных, 9 хороших и 6 посредственных стрелков. При одном выстреле отличный стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,9, хороший - с вероятностью 0,8, и посредственный - с вероятностью 0,7. Наугад выбранный стрелок выстрелил по мишени., отмечено попадание. Какова вероятность, что это был отличный стрелок?

Ответ. р = 0, 143.

3. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6. При одновременном выстреле всех трех стрелков имелось одно попадание. Определить вероятность того, что попал первый стрелок.

Ответ. р = 0,103.

4. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего -0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Ответ. р ≈ 0,628.

5. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Ответ. а) р ≈0,58; б) р ≈0,002.

6. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него.

Ответ. Вероятнее, что винтовка была без оптического прицела ( вероятность того, что винтовка была без оптического прицела, равна 24/43; с оптическим прицелом – 19/43).

7. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0. К бензоколонке подъехала для заправки машина . Найти вероятность, что это грузовая машина.

Ответ. р = 3/7.

8. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0.45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед.

Ответ. р ≈ 0,47.

Занятие 7. Повторение испытаний. Формула

Бернулли

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, а именно равна р. Следовательно, вероятность не наступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q=1—p.

Вероятность того, что при п испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится (п – k) раз вычисляется по формуле

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, - находят соответственно по формулам:

P_n(0)+ P_n(1)+…+ P_n(k-1);

P_n(k+1)+ P_n(k+2)+…+ P_n(n);

P_n(0)+ P_n(1)+…+ P_n(k).

Пример. 1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна

р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна

q=1 - р==1 - 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

Пример 2. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход партии исключен) а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий их четырех или не менее пяти партий из восьми?

Решение. Так как противники равносильные, то вероятности выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны .