Задачи для самостоятельного решения

1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет а) 6 очков, б) четное число очков?

Ответ. а) р = 1/6, б) р = 1/2.

2. Из колоды карт (36 листов) вынута одна. Найти вероятность того, что это а) бубновая дама, б) дама, в) карта пиковой масти.

Ответ. а) р = 1/36, б) р = 4/36, в) р = 1/4.

3. Брошены две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков делится на 6.

Ответ. р = 6/36.

4. В записанном телефонном номере две последние цифры стерлись. Какова вероятность набрать номер правильно, если известно, что а) цифры были разные; б) цифры были одинаковые.

Ответ. а) р = 1/90, р = 1/10.

5. Из букв разрезной азбуки составлено слово «спорт». Буквы перемешали и сложили в произвольном порядке. Какова вероятность того, что снова получилось слово «спорт»?

Ответ. р =1/120.

6. Из букв разрезной азбуки составлено слово «математика». Буквы перемешали и сложили в произвольном порядке. Какова вероятность того, что снова получилось слово «математика»?

Ответ. р = 1/151200.

7. Из пачки фотографий, в которой 7 цветных и 5 черно-белых, надо отдать 6. Найти вероятность того, что, что отдадут все черно белые фотографии?

Ответ. р = 1/132.

8. В группе из 20 студентов 5 девушек. Какова вероятность, что среди шести случайно назначенных дежурных будут две девушки.?

Ответ. р =

9. Из колоды в 52 карты наудачу извлекли четыре. Какова вероятность, что среди них окажется один туз.

Ответ. р ≈ 0,256

10. На полке 10 книг, среди которых два тома в красных переплетах. Книги расставлены случайным образом. Найти вероятность того, что книги в красных переплетах стоят рядом.

Ответ. р = 0,2.

11. Десять гостей расселись за круглым столом. Какова вероятность, что Саша и Маша будут сидеть рядом?

Ответ. р = 2/9.

12. Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность того, что все тузы лежат подряд.

Ответ. р ≈ 0,0006.

13. Колода из52 карт делится наугад на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части окажется по два туза.

Ответ. р ≈ 0,011.

Занятие 3. Геометрическая вероятность

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

.

Пример 1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка . Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка попадет на отрезок CD длины . Искомая вероятность

.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

.

Пример 2. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение. Площадь кольца (фигуры g)

.

Площадь большого круга (фигуры G)

.

Искомая вероятность

.

Пример 3 . (Задача о встрече) Два студента А и В условились встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин и уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин может произойти наудачу и моменты прихода независимы.

Р ешение. Обозначим момент прихода студента А через х, а студента В – через у. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно чтобы . Изобразим х и у как декартовы координаты на плоскости, а в качестве единицы масштаба выборе одну минуту (рис. 1). Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50, а исходы, благоприятствующие встрече, - точками заштрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квадрата: