Контрольнi запитання

1. Яким чином проводять кореляційний аналіз експериментальних даних у системі комп’ютерної математики Маximа?

2. Яким чином проводять дисперсійний аналіз експериментальних даних у системі комп’ютерної математики Маximа?

3. Як можна використовувати результати оцінки коваріаційної матриці ?

4. Як можна використовувати результати оцінки отриманого вектора коефіцієнтів множинної кореляції для проведення подальшого статистичного аналізу?

Методика виконання роботи

10. Завантажити систему Маximа і створити документ.

11. Завантажити пакети розширення descriptive та numericalio.

12. Для заданого масиву даних провести дисперсійний аналіз шляхом визначення переліку основних дисперсій.

13. Для заданого масиву даних визначити кореляційну та коваріаційну матриці і вектор коефіцієнтів множинної кореляції.

Додадок 8.1.

При проведенні деяких аналітичних досліджень найчастіше необхідно оцінити характер і ступінь залежності однієї величини від інший або декількох інших досліджуваних величин. Рішення подібних задач з погляду математичної статистики спрямовано на встановлення кореляції між випадковими величинами за допомогою методів кореляційного аналізу..

Дисперсійний аналіз основан на порівнянні середніх ряду вибіркових сукупностей, отриманих у різних умовах і дозволяє відповісти на запитання про значимості досліджуваних факторів. Також дисперсійний аналіз використовують при перевірці вивконання статистичних гіпотез відносно результатів регресійного аналізу. У системі Маximа функції дисперсійного та кореляційного аналізу експериментальних даних аналізу знаходяться у пакеті розширення descriptive.

Функція cov (matrix)

Повертає коваріаційну матрицю для багатомірного масиву даних, яку визначають наступним чином:

n _ _

1 / n ∑ (X_j - X ) (X_j - X )^T ;

X_j=1

де X_j – j–ий рядок матриці даних.

Приклад:

(%i1) load (descriptive)$

(%i2) load (numericalio)$

(%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$

(%i4) fpprintprec : 7$ /* change precision for pretty output */

(%i5) cov (s2);

[ 17.22191 13.61811 14.37217 19.39624 15.42162 ]

[ ]

[ 13.61811 14.98774 13.30448 15.15834 14.9711 ]

[ ]

(%o5) [ 14.37217 13.30448 15.47573 17.32544 16.18171 ]

[ ]

[ 19.39624 15.15834 17.32544 32.17651 20.44685 ]

[ ]

[ 15.42162 14.9711 16.18171 20.44685 24.42308 ]

Функція cov1 (matrix)

Повертає приведену до ступеня свободи статистичної системи коваріаційну матрицю для багатомірного масиву даних, яку визначають наступним чином:

n _ _

1 /(n – 1) ∑ (X_j - X ) (X_j - X )^T ;

X_j=1

де X_j – j–ий рядок матриці даних.

Приклад:

(%i1) load (descriptive)$

(%i2) load (numericalio)$

(%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$

(%i4) fpprintprec : 7$ /* change precision for pretty output */

(%i5) cov1 (s2);

[ 17.39587 13.75567 14.51734 19.59216 15.5774 ]

[ ]

[ 13.75567 15.13913 13.43887 15.31145 15.12232 ]

[ ]

(%o5) [ 14.51734 13.43887 15.63205 17.50044 16.34516 ]

[ ]

[ 19.59216 15.31145 17.50044 32.50153 20.65338 ]

[ ]

[ 15.5774 15.12232 16.34516 20.65338 24.66977 ]

Функція global_variances (matrix)

global_variances (matrix, logical value)

Функція global_variances повертає загальний лист визначених дисперсій:

• загальна дисперсія: trace(S1),

• середня дисперсія: trace(S1)/p,

• узагальнена дисперсія: determinant(S1),

• узагальнене стандартне відхилення: sqrt(determinant(S1)),

• ефективна дисперсія: determinant(S1)^(1/p),

• ефективне стандартне відхилення: determinant(S_1)^(1/(2*p)).

де p – розмір досліджуваної випадкової перемінної

S1 – ковариационная матриця, що повертається функцією cov1.

Приклад:

(%i1) load (descriptive)$

(%i2) load (numericalio)$

(%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$

(%i4) global_variances (s2);

(%o4) [105.338342060606, 21.06766841212119, 12874.34690469686,

113.4651792608502, 6.636590811800794, 2.576158149609762]

Функція global_variances має опцію у виді логічного аргументу.

global_variances(x,true) показує, що matrix є матрицею даних і виконується global_variances (matrix). Інший варіант завдання опції global_variances(x,false) показує, що matrix є коваріаційною матрицею і блокує її повторне обчислення.

Приклад:

(%i1) load (descriptive)$

(%i2) load (numericalio)$

(%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$

(%i4) s : cov1 (s2)$

(%i5) global_variances (s, false);

(%o5) [105.338342060606, 21.06766841212119, 12874.34690469686,

113.4651792608502, 6.636590811800794, 2.576158149609762]

Функція cor (matrix)

cor (matrix, logical value)

Ця функція обчислює кореляційну матрицю для багатомірного масиву даних.

Приклад:

(%i1) load (descriptive)$

(%i2) load (numericalio)$

(%i3) fpprintprec:7$

(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$

(%i5) cor (s2);

[ 1.0 .8476339 .8803515 .8239624 .7519506 ]

[ ]

[ .8476339 1.0 .8735834 .6902622 0.782502 ]

[ ]

(%o5) [ .8803515 .8735834 1.0 .7764065 .8323358 ]

[ ]

[ .8239624 .6902622 .7764065 1.0 .7293848 ]

[ ]

[ .7519506 0.782502 .8323358 .7293848 1.0 ]

Функція cor має опцію у вигляді логічного аргументу. Опція cor(x,true) показує, що matrix є матрицею даних і виконується cor(matrix). Інший варіант завдання опції cor(x,false) показує, що matrix является коваріаційною матрицею і блокує її повторне обчислення.

Приклад:

(%i1) load (descriptive)$

(%i2) load (numericalio)$

(%i3) fpprintprec:7$

(%i4) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$

(%i5) s : cov1 (s2)$

(%i6) cor (s, false); /* this is faster */

[ 1.0 .8476339 .8803515 .8239624 .7519506 ]

[ ]

[ .8476339 1.0 .8735834 .6902622 0.782502 ]

[ ]

(%o6) [ .8803515 .8735834 1.0 .7764065 .8323358 ]

[ ]

[ .8239624 .6902622 .7764065 1.0 .7293848 ]

[ ]

[ .7519506 0.782502 .8323358 .7293848 1.0 ]

Функція list_correlations (matrix)

list_correlations (matrix, logical value)

Функція list_correlations повертає наступний лист обчислених кореляцій:

• матриця точності (зворотна коваріаційна матриця): (S1) ^–1;

• вектор коефіцієнтів множинної кореляції:(R₁², R₂², . R_n² ),

• часткову кореляційну матрицю.

Приклад:

(%i1) load (descriptive)$

(%i2) load (numericalio)$

(%i3) s2 : read_matrix (file_search ("wind.data"))$

(%i4) z : list_correlations (s2)$

(%i5) fpprintprec : 5$ /* for pretty output */

(%i6) z[1]; /* precision matrix */

[ .38486 - .13856 - .15626 - .10239 .031179 ]

[ ]

[ - .13856 .34107 - .15233 .038447 - .052842 ]

[ ]

(%o6) [ - .15626 - .15233 .47296 - .024816 - .10054 ]

[ ]

[ - .10239 .038447 - .024816 .10937 - .034033]

[ ]

[ .031179 - .052842 - .10054 - .034033 .14834 ]

(%i7) z[2]; /* multiple correlation vector */

(%o7) [.85063, .80634, .86474, .71867, .72675]

(%i8) z[3]; /* partial correlation matrix */

[ - 1.0 .38244 .36627 .49908 - .13049]

[ ]

[ .38244 - 1.0 .37927 - .19907 .23492 ]

[ ]

(%o8) [ .36627 .37927 - 1.0 .10911 .37956 ]

[ ]

[ .49908 - .19907 .10911 - 1.0 .26719 ]

[ ]

[ - .13049 .23492 .37956 .26719 - 1.0 ]

Використання логічної опції цієї функції таке ж, як і в попередньому випадку.