Контрольнi запитання

1. Як можна провести сплайн - апроксимацію масиву даних у системі Maxima?

2. Як можна отримати функцію, що інтерполює у виді степенного полінома довільної складності у системі Maxima?

3. Як можна побудувати графічні примитиви на основі сплайн – апроксимації?

Методика виконання роботи

1. Завантажити систему Maxima і створити локумент.

2. Визначити сплайн - функцію для масиву даних за завданням викладача

3. Визначити степенну функцію, що інтерполює для масиву даних за завданням викладача

4. Побудувати графіки отриманих апроксимуючих функцій.

Додадок 5.1.

Часто вихідні дані для рішення математичних задач представлені набором чисельних значень в окремих точках. Для визначення функціональної залежності, що описує заданий масив даних і вид якої в загальному випадку невідомий, використовують метод інтерполяції. У цьому випадку істинна функція заміняється функцією, що інтерполює, яка у змісті деякого критерію оптимальності дає найкраще наближення до істинної функції. У Maxima інтерполяцію даних можна проводити за допомогою сплайн-функций. Під сплайном розуміють функцію, визначену на відрізку [a,b], що збігається на часткових відрізках, утворених сіткою: a = x₁<x₂<…<x_n = b c деякими алгебраїчними поліномами ступеня не вище m, і має на [a,b] безперервну (m-1)-ту похідну. На практиці найчастіше використовують кубічні поліноми. Коефіцієнти апроксимуючого полінома визначають з умови рівності в стикуємих точках не тільки значень функції, але також значень першої і другої похідних. Це надає графіку сплайна вид плавної кривій, що точно проходить через вузлові точки.

Пакет розширення interpol містить функції Maxima для одержання сплайн – функції, що проходить максимально близько до апроксимуемих точек.

Функція cspline (points)

cspline (points, option1, option2, ...)

Виконує поліноміальну інтерполяцію методом визначення кубічної сплайн-функції. Аргумент points повинен бути заданий як:

• матриця з двох стовбців, p: matrix([2,4],[5,6],[9,3]),

• лист пар значеннь, p: [[2,4],[5,6],[9,3]],

• лист значеннь, p: [4,6,3], в цьому випадку в якості другого значення автоматично використуються цілі числа 1, 2, 3, і т.д..

Можливо задання трьох значеннь опцій

• d1 - за замовчуванням unknown, є першою похідною у точці x1; якщо ця похідна невідома (unknown), то друга похідна у точці x1 приймається рівною 0 (натуральний кубічний сплайн ); якщо значення першої похідної відоме, то друга похідна рахується на основі цього значення.

• dn - за замовчуванням unknown, є першою похідною у точці xn; якщо ця похідна невідома (unknown), то друга похідна у точці xn приймається рівною 0 (натуральний кубічний сплайн ); якщо є значення першої похідної, то друга похідна рахується на основі цього значенн

• varname - за замовчуванням x, ім’я для незалежної змінної.

Приклад:

(%i1) load(interpol)$

(%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$

(%i3) /* Неизвестные первые производные */

cspline(p);

3 2

1159x 1159x 6091x 8283

(%o3) (------- - ------- - ------ + ----) charfun2(x, minf, 3)

3288 1096 3288 1096

3 2

2587x 5174x 494117x 108928

+ (- ------- + ------- - -------- + --------) charfun2(x, 7, inf)

1644 137 1644 137

3 2

4715x 15209x 579277x 199575

+ (------- - -------- + -------- - --------) charfun2(x, 6, 7)

1644 274 1644 274

3 2

3287x 2223x 48275x 9609

+ (- ------- + ------- - ------- + -----) charfun2(x, 3, 6)

4932 274 1644 274

(%i4) f(x):=’’%$

(%i5) /* Вычисления значений полинома в заданных точках*/

map(f,[2.3,5/7,%pi]), numer;

(%o5) [1.991460766423356, 5.823200187269903, 2.227405312429507]

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6

РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ ДАНИХ У СИСТЕМІ MAХІМA

Мета роботи – вивчення правил побудови регресійних моделей на основі лінійної заданої функції і оцінки параметрів отриманної регресійної моделі у системі комп’ютерної математики Маxiма.