Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.

Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы, минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Определение.

Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k, которая получается из элементов матрицы А, находящихся в выбранныхk строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n).Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой, и всех столбцов, кроме j-ого, квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как  .Иными словами, минор   получается из квадратной матрицы А порядка n на nвычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.

Алгебраическим дополнением элемента   квадратной матрицы   называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А, вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на  .

Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства  .

1. Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).

2. Строим   - матрицу из алгебраических дополнений элементов  .

3. Транспонируем матрицу  , тем самым получаем  .

4. Умножаем каждый элемент матрицы   на число  . Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы  .

5. Проводим проверку результата, вычисляя произведения   и  . Если  , то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

5. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.(взять в учебнике)

Смысл метода Крамера: находим определитель D_k, получаемый из заменой k-го столбца на столбец свободных членов и делим его на главный определитель D.

x^k = D_k / D

6. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.

Алгоритм решения

1. Вычисляется определитель матрицы A. Если определитель равен нулю, то конец решения. Система имеет бесконечное множество решений.

2. При определителе отличном от нуля, через алгебраические дополнения находится обратная матрица A^-1.

3. Вектор решения X={x₁, x₂, ..., x_n} получается умножением обратной матрицы на вектор результата B.

7. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме.Для того чтобы решить систему уравнений

  выписывают расширенную матрицу этой системы  и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы   будут располагаться нули. Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число. С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.

8. Понятие функции, область определения и множество значений функции.

Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х,при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения,которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

9. Способы задания функций, классификация функций (основные элементарные функции).