2. Експонентний закон

Перевірка відповідності розподілу результатів спостережень до експонентного закону виконується в тій же послідовності, у якій виконувалася перевірка відповідності результатів спостережень до нормального закону розподілів. При цьому результати виконання пунктів перевірки 1.1 - 1.5. відповідають попередньому випадку.

1.6. Для розрахунку ймовірностей p_i визначимо значення інтеграла (6), підставивши в нього вираження (10). Взявши інтеграл, одержимо

. (17)

Необхідне для розрахунку значення параметра 2σ² визначимо з вираження (14), відповідно до якого

= 0.914

При цьому значенні оцінки 2σ² p_i приймає значення, зведені в таблицю 5.

Таблиця 5

Xi	0.251	0.493	0.735	0.977	1.219	1.461	1.703	1.945	2.187	2.431
pi	0.231	0.176	0.136	0.104	0.08	0.06	0.047	0.036	0.028	0.021

1.7. Використовуючи отримані результати, по вираженню (7) визначаємо значення χ²_q

χ²_q = = 46.43

1.8. Відповідно до вираження (8) визначаємо число ступенів волі. У зв’язку з тим, що у цьому випадку оцінювався тільки один параметр, s=1 й

r = k - s -1 = 10 - 1 - 1=8.

1.9. За таблицями значень χ^2. для заданого числа ступенів волі знаходимо ймовірність того, що величина, що має розподіл χ², перевищить отримане значення χ²_q. Для отриманого значення χ²_q і числа ступенів 8 значення зазначеної ймовірності набагато менше 0.01. Звідси можна зробити висновок, що аналізовані результати спостережень не можуть бути розподілені за експонентним законом.

3. Закон розподілу Релєя

Перевірка відповідності розподілу результатів спостережень до релєєвського закону виконується в тій же послідовності, у якій виконувалася перевірка відповідності результатів спостережень до нормального закону розподілів. При цьому результати виконання пунктів перевірки 1.1 - 1.5. відповідають цьому випадку.

1.6. Для розрахунку ймовірностей p_i визначимо значення інтеграла (6), підставивши в нього вираження (11). Взявши інтеграл, одержимо

. (17)

Необхідне для розрахунку значення параметра σ визначимо з вираження (15), відповідно до якого

= 0.729.

При цьому значенні = 1.062

При цьому значенні оцінки σ p_i приймає значення, зведені в таблицю 6.

Таблиця 6

Xi	0. 251	0. 493	0. 735	0. 977	1. 219	1. 461	1. 703	1. 945	2. 187	2. 431
pi	0.05	0. 147	0. 195	0. 193	0.16	0. 113	0. 069	0. 037	0. 017	0. 007

1.7. Використовуючи отримані результати, за виразом (7) визначаємо значення χ²_q

χ²_q = = 15.58

1.8. Відповідно до вираження (8) визначаємо число ступенів волі. У зв’язку з тим, що у цьому випадку оцінювався тільки один параметр, s=1 й

r = k - s -1 = 10 - 1 - 1=8.

1.9. За таблицями значень χ^2. для заданого числа ступенів волі знаходимо ймовірність того, що величина, що має розподіл χ², перевищить отримане значення χ²_q. Для отриманого значення χ²_q і числа ступенів 8 значення зазначеної ймовірності дорівнює 0.05, що більше 0.01. Звідси можна зробити висновок, що аналізовані результати спостережень можуть бути розподілені за законом Релея.

Наближений метод перевірки нормальності розподілу

В якості наближеного методу перевірки нормальності розподілу застосовують метод, пов'язаний з оцінками центральних моментів третього й четвертого порядків й . Третій центральний момент

служить для характеристики асиметрії (або “скошеності”) щільності розподілу. Якщо розподіл симетричний щодо математичного очікування, то всі моменти непарного порядку (якщо вони існують) дорівнюють нулю. Безрозмірна величина називається коефіцієнтом асиметрії.

Четвертий центральний момент служить для характеристики “крутості”, тобто островерхості або площини вершини щільності розподілу. Ці властивості описуються за допомогою ексцесу. Ексцесом називається величина . Для нормального розподілу Е=0. Для кривих більш островерхих, ніж нормальна, Е >0, більш плосковерхих, Е <0.

У випадку нормального закону повинне виконуватися наближена рівність

. (20)

Для зручності використовують оцінки коефіцієнтів асиметрії й ексцесу

; (21)

Обидві ці характеристики повинні бути малі, якщо розподілені за нормальним законом.

В якості оцінки центральних моментів використовуються вибіркові центральні моменти

(22)

Про малість оцінок коефіцієнта асиметрії й ексцесу судять у порівнянні їх з їх середніми квадратичними помилками (СКП), відповідно рівними

для - (23)

для Е - (24)

де n – кількість вимірів.

Якщо хоча б одна із зазначених характеристик за абсолютною величиною значно (в 2 – 3 рази) перевершує СКП, то нормальність розподілу піддається сумніву й далі проводиться більш ретельний аналіз (наприклад, критерій χ²⁾.