Експонентний закон
(10)
І закон розподілу Релея:
. (11)
Оцінки параметрів, що входять у функціональні записи законів розподілу, визначаються за допомогою вибіркових моментів. Для нормального закону розподілу:
(12)
, (13)
где M2 – центральний вибірковий момент другого порядку.
Для експонентного закону
.
(14)
Для закону розподілу Релея
.
(15)
Приклад. Установити, відповідно до якого із трьох законів розподілу (нормального, експонентного або Релея) розподілені результати спостережень. В якості масива даних використати дані приклада першого завдання.
Рішення.
Для рішення цієї задачі відповідно до критерію χ2 необхідно встановити, для якого із пропонованих розподілів
1. Не виконується умова “малості”.
2. Значення є максимальним із всіх розподілів, для яких виконується перша умова.
При рішенні задачі будемо послідовно аналізувати відповідність розподілу даних кожному з передбачуваних розподілів.
1. Нормальний закон розподілу.
1.1. Число інтервалів статистичного ряду приймаємо рівним k=10.
1.2. Довжину інтервалу вибираємо за аналогією із прикладом завдання 1 рівним h=0.242.
1.3. Границями інтервалів є:
X0 = 0.009; X1 = 0.251; X2 = 0.493; X3 = 0.735; X4 = 0.977; X5 = 1.219;
X6 = 1.461; X7 =1.703; X8 = 1.945; X9 = 2.187; X10 = 2.431
1.4. Визначаємо число результатів спостережень, що потрапили в кожний з інтервалів. Відповідно до результатів рішення приклада першого практичного завдання, ці числа рівні
n1 = 2, n2 = 25, n3 = 15, n4 = 19, n5 = 12, n6 = 15,
n7 = 6, n8 = 2, n9 = 2, n10 = 2.
1.5. Відповідно до виражень (12), (13) визначаємо значення вибіркових моментів, необхідні для визначення значень імовірностей pi.
(0.45+0.43+0.95+0.66+0.64+1.21+0.48+0.46+0.31+
0.35+0.92+1.28+1.42+1.34+0.79+0.47+0.25+0.6+0.6+1.07+1.09+0.68+0.93+1.44+
0.84+0.47+1.96+0.86+0.43+0.75+1.22+0.63+0.28+0.62+0.47+0.86+0.48+0.81+1.16+
0.63+0.4+0.44+0.76+1.02+0.78+1.28+1.4+1.21+1.71+0.96+1.46+0.53+1.22+0.44+
0.34+1.59+1.09+1.4+1.54+0.72+0.82+0.69+0.43+0.28+0.64+0.47+1.15+0.75+1.47+
0.71+1.44+1.04+1.67+1.24+2.22+0.73+0.42+0.97+1.47+0.82+0.79+1.18+1.94+0.31+
1.95+0.69+1.28+0.13+1.01+0.44+0.28+0.94+1.18+1.24+0.47+1.62+1.3+2.31+0.48+
0.85)= 0.914
=0.2228
1.6. Підставивши в (9) отримані оцінки, використовуючи (6) розрахуємо значення ймовірностей pi, скориставшись таблицями інтеграла ймовірності Ф(х), наведеними в додатку
.
(16)
Результати обчислень імовірності pi зведені в таблицю 4.
Таблиця 4
Xi |
0. 251 |
0. 493 |
0. 735 |
0. 977 |
1. 219 |
1. 461 |
1. 703 |
1. 945 |
2. 187 |
2. 431 |
pi |
0.04 |
0. 107 |
0. 165 |
0.2 |
0. 235 |
0.09 |
0. 073 |
0. 036 |
0. 0105 |
0. 0028 |
1.7. Використовуючи отримані результати, по вираженню (7) визначаємо значення χ2q
χ2q = = 41.48
1.8. Відповідно до вираження (8) визначаємо число ступенів волі. Виходячи з того, що нормальний розподіл визначається двома оцінюваними параметрами, то s=2 й
r = k - s -1 = 10 - 2 - 1=7.
1.9. За таблицями значень χ2. для заданого числа ступенів волі знаходимо ймовірність того, що величина, що має розподіл χ2 перевищить отримане значення χ2q. Для отриманого значення χ2q і числа ступеню 7 значення зазначеної ймовірності набагато менше 0.01. Звідси можна зробити висновок, що аналізовані результати спостережень не належать до нормального закону.