3. Зміст заняття

Відповідно до індивідуального завдання побудувати гістограму

4. Підготовка до занять

4.1. Вивчити методику побудови гістограм.

4.2. Підготувати заготівлю звіту, заповнивши титульний аркуш, ціль заняття, основні теоретичні положення, методику виконання завдання й вихідних даних відповідно до отриманого індивідуального завдання.

4.3. За даними індивідуального завдання побудувати варіаційний ряд, після чого занести його у звіт.

5. Зміст звіту

1. Титульний лист.

2. Мета заняття.

3. Основні теоретичні положення.

4. Методика виконання завдання.

5. Результати виконання завдання.

6. Висновки.

6. Контрольні питання

1. Що є метою заняття?

2. Що таке погрішність?

3. Назвіть види погрішностей.

4. Який закон розподілу погрішностей найчастіше застосовують на практиці?

Наведіть запис цього закону. Поясніть значення параметрів закону.

5. Що таке гістограма?

6. Що таке варіаційний ряд?

7. Що таке розмах емпіричного розподілу?

8. Що таке частота появи випадкової величини?

9. Приведіть методику побудови гістограми.

10. Якими рекомендаціями варто користуватися при групуванні вихідних даних?

Практичне заняття №2

Визначення закону розподілу результатів вимірювання з використанням критеріїв згоди

1. Мета заняття

Метою заняття є вивчення методів застосування критеріїв для вибору теоретичного закону розподілу результатів вимірів з використанням критеріїв згоди й придбання практичних навичок у використанні критеріїв згоди для встановлення відповідності емпіричного закону теоретичному.

2. Загальні теоретичні положення

Побудована на основі отриманих результатів вимірювання гістограма служить лише графічним аналогом щільності розподілу, по виду якої можна тільки зробити припущення про можливий теоретичний опис щільності розподілу. Однак висування гіпотези про вид теоретичного закону розподілу на підставі тільки побудованої гістограми не завжди є правомірним. У ряді випадків, апріорі може бути відомий клас законів розподілу, якими може бути описаний закон розподілу отриманих результатів вимірювання. При цьому побудована гістограма може служити вихідним матеріалом для звуження області визначення теоретичного закону розподілу усередині апріорно заданого класу розподілів.

Визначення закону розподілу результатів вимірювання на основі статистичних даних полягає в тому, що дослідник висуває на основі свого досвіду й наявної інформації певну гіпотезу про теоретичний розподіл й обчислює ймовірність, що характеризує її прийнятність. Якщо ця ймовірність перевершує деяку величину, яку називають рівнем значимості, то вважають, що гіпотеза не суперечить дослідним даним і вона може бути прийнята. Якщо ж імовірність мала, то гіпотеза відкидається й дослідник повинен або висунути іншу гіпотезу, або поповнити статистичний матеріал, або зробити й те й інше.

Ступінь відповідності між висунутою гіпотезою й статистичним матеріалом установлюється за допомогою критерію згоди.

Серед критеріїв згоди найбільш часто застосовують критерій Колмогорова й критерій χ^2.

Критерій Колмогорова.

Критерій Колмогорова застосовується тоді, коли теоретичний розподіл повністю відомий (і вид, і параметри). У цьому випадку розглядається величина

(1)

де F(x) - теоретичний розподіл,

- емпірична функція розподілу, яка при використанні варіаційного ряду визначається як

(2)

Після цього обчислюється величина .

Відповідність між й F(x) оцінюється ймовірністю

, (3)

значення якої наведені в таблиці

λ	Р(λ)	λ	Р(λ)	λ	Р(λ)
0,0	1,0	0,7	0,711	1,4	0,040
0,1	1,0	0,8	0,544	1,5	0,022
0,2	1,0	0,9	0,393	1,6	0,012
0,3	1,0	1,0	0,270	1,7	0,006
0,4	0,997	1,1	0,178	1,8	0,003
0,5	0,964	1,2	0,112	1,9	0,002
0,6	0,864	1,3	0,068	2,0	0,001

Це є ймовірність того, що (якщо величина Х дійсно розподілена за законом F(x)) за рахунок чисто випадкових причин максимальна розбіжність між й F(x) буде не менше, ніж фактично спостережувана. Якщо отримане значення Р(λ) менше прийнятого рівня значимості, то гіпотеза відкидається. При порівняно великих Р(λ) гіпотезу можна вважати сумісною з дослідними даними.

Рівень значимості як правило призначається в межах 0,01 - 0,1.

Приклад. Перевірити на відповідність закону розподілу Релея дані результатів вимірів, наведені в попередньому практичному занятті, припускаючи, що 2σ² = 1. При розрахунках рівень значимості будемо вважати рівним 0,05

Рішення.

Виходячи з того, що теоретичний закон повністю відомий, як критерій згоди вибирається критерій Колмогорова.

Для рішення поставленої задачі відповідно до наведеної методики, використовуючи отримані в прикладі завдання 1 дані, розрахуємо значення емпіричної функції розподілу. Для варіаційного ряду

0.13, 0.25, 0.28, 0.28, 0.28, 0.31, 0.31, 0.34, 0.35, 0.4,

0.42, 0.43, 0.43, 0.43, 0.44, 0.44, 0.44, 0.45, 0.46, 0.47,

0.47, 0.47, 0.47, 0.47, 0.48, 0.48, 0.48, 0.53, 0.6, 0.6,

0.62, 0.63, 0.63, 0.64, 0.64, 0.66, 0.68, 0.69, 0.69, 0.71,

0.72, 0.73, 0.75, 0.75, 0.76, 0.78, 0.79, 0.79, 0.81, 0.82,

0.82, 0.84, 0.85, 0.86, 0.86, 0.92, 0.93, 0.94, 0.95, 0.96,

0.97, 1.01, 1.02, 1.04, 1.07, 1.09, 1.09, 1.15, 1.16, 1.18,

1.18, 1.21, 1.21, 1.22, 1.22, 1.24, 1.24, 1.28, 1.28, 1.28,

1.3, 1.34, 1.4, 1.4, 1.42, 1.44, 1.44, 1.46, 1.47, 1.47,

1.54, 1.59, 1.62, 1.67, 1.71, 1.94, 1.95, 1.96, 2.22, 2.31

результати розрахунків представлені в наступній таблиці 1.

Таблиця 1

х	0<x≤0.13	0.13<x≤0.25	0.25<x≤0.28	0.28<x≤0.31	0.31<x≤0.34
	0	0.01	0.02	0.05	0.07
х	0.34<x≤0.35	0.35<x≤0.4	0.4<x≤0.42	0.42<x≤0.43	0.43<x≤0.44
	0.08	0.09	0.1	0.11	0.14
х	0.44<x≤0.45	0.45<x≤0.46	0.46<x≤0.47	0.47<x≤0.48	0.48<x≤0.53
	0.17	0.18	0.19	0.24	0.27
х	0.53<x≤0.60	0.60<x≤0.62	0.62<x≤0.63	0.63<x≤0.64	0.64<x≤0.66
	0.28	0.30	0.31	0.33	0.35
х	0.66<x≤0.68	0.68<x≤0.69	0.69<x≤0.71	0.71<x≤0.72	0.72<x≤0.73
	0.36	0.37	0.39	0.40	0.41
х	0.73<x≤0.75	0.75<x≤0.76	0.76<x≤0.78	0.78<x≤0.79	0.79<x≤0.81
	0.42	0.44	0.45	0.46	0.48
х	0.81<x≤0.82	0.82<x≤0.84	0.84<x≤0.85	0.85<x≤0.86	0.86<x≤0.92
	0.49	0.51	0.52	0.53	0.55
х	0.92<x≤0.93	0.93<x≤0.94	0.94<x≤0.95	0.95<x≤0.96	0.96<x≤0.97
	0.56	0.57	0.58	0.59	0.60
х	0.97<x≤1.01	1.01<x≤1.02	1.02<x≤1.04	1.04<x≤1.07	1.07<x≤1.09
	0.61	0.62	0.63	0.64	0.65
х	1.09<x≤1.15	1.15<x≤1.16	1.16<x≤1.18	1.18<x≤1.21	1.21<x≤1.22
	0.67	0.68	0.69	0.71	0.73
х	1.22<x≤1.24	1.24<x≤1.28	1.28<x≤1.30	1.30<x≤1.34	1.34<x≤1.40
	0.75	0.77	0.80	0.81	0.82
х	1.40<x≤1.42	1.42<x≤1.44	1.44<x≤1.46	1.46<x≤1.47	1.47<x≤1.54
	0.84	0.85	0.87	0.88	0.90
х	1.54<x≤1.59	1.59<x≤1.62	1.62<x≤1.67	1.67<x≤1.71	1.71<x≤1.94
	0.91	0.92	0.93	0.94	0.95
х	1.94<x≤1.95	1.95<x≤1.96	1.96<x≤2.22	2.22<x≤2.31	2.31<x
	0.96	0.97	0.98	0.99	1.00

З огляду на те, що щільність розподілу Релєя має вигляд

, (4)

розрахуємо значення функції розподілу відповідно до виражень

F(x) = 0 при х≤0

при х > 0

для значень, що є лівомежними у використовуваних інтервалах розбивки вихідних даних, звівши результати в таблицю 2.

Таблиця 2

x	0	0.13	0.25	0.28	0.31	0.34	0.35	0.4	0.42	0.43
F(x)	0	0.0168	0.0606	0.0754	0.0916	0.109	0.115	0.148	0.162	0.169
x	0.44	0.45	0.46	0.47	0.48	0.53	0.6	0.62	0.63	0.64
F(x)	0.176	0.183	0.191	0.198	0.205	0.245	0.302	0.319	0.328	0.336
x	0.66	0.68	0.69	0.71	0.72	0.73	0.75	0.76	0.78	0.79
F(x)	0.353	0,37	0.379	0.396	0.404	0.413	0.43	0.439	0.456	0.464
x	0.81	0.82	0.84	0.85	0.86	0.92	0.93	0.94	0.95	0.96
F(x)	0,481	0.489	0.506	0.514	0.522	0.571	0.579	0.587	0.594	0.602
x	0.97	1.01	1.02	1.04	1,07	1.09	1.15	1.16	1.18	1.21
F(x)	0.61	0.639	0.647	0.661	0.682	0.695	0.733	0.74	0.752	0.769
x	1.22	1.24	1.28	1.30	1.34	1.4	1.42	1.44	1.46	1.47
F(x)	0.774	0.785	0.806	0.815	0.834	0.859	0.867	0.874	0.881	0.885
x	1.54	1.59	1.62	1.67	1.71	1.94	1.95	1.96	2.22	2.31
F(x)	0.907	0.92	0.928	0.938	0.946	0.977	0.978	0.978	0.993	0.995

Наступним кроком у перевірці відповідності емпіричного закону розподілу Релєя є визначення величини D відповідно до вираження 2. Результати обчислень модуля різниці значень й F(x) Δ=│ і F(x) │ зведені в таблицю 3.

Таблиця 3

x	0	0.13	0.25	0.28	0.31	0.34	0.35	0.4	0.42	0.43
Δ	0	0.0068	0.0406	0.0254	0.0216	0.029	0.025	0.048	0.052	0.029
x	0.44	0.45	0.46	0.47	0.48	0.53	0.6	0.62	0.63	0.64
Δ	0.006	0.003	0.001	0.042	0.065	0.035	0.002	0.009	0.002	0.014
x	0.66	0.68	0.69	0.71	0.72	0.73	0.75	0.76	0.78	0.79
Δ	0.007	0,00	0.011	0.004	0.096	0.007	0.01	0.011	0.004	0.016
x	0.81	0.82	0.84	0.85	0.86	0.92	0.93	0.94	0.95	0.96
Δ	0,009	0.021	0.014	0.016	0.028	0.011	0.009	0.007	0.004	0.002
x	0.97	1.01	1.02	1.04	1,07	1.09	1.15	1.16	1.18	1.21
Δ	0.00	0.019	0.017	0.021	0.032	0.025	0.035	0.05	0.042	0.039
x	1.22	1.24	1.28	1.30	1.34	1.4	1.42	1.44	1.46	1.47
Δ	0.024	0.015	0.006	0.005	0.014	0.019	0.017	0.004	0.001	0.015
x	1.54	1.59	1.62	1.67	1.71	1.94	1.95	1.96	2.22	2.31
Δ	0.003	0.00	0.002	0.002	0.004	0.017	0.008	0.002	0.003	0.005

Серед знайдених модулів різностей найбільше значення має Δ = 0.096. Тому значення D приймається рівним D=0.094. Відповідна цьому значенню D величина параметра λ дорівнює: . Для даного значення λ Р(λ) ≈ 0.3, що значно перевищує заданий рівень значимості 0,3>>0,05. Таким чином, можна зробити висновок про те, що отриманий емпіричний розподіл належить до розподілу Релєя з параметром 2σ² = 1.

Критерій χ^2.

Якщо вид розподілу відомий, а параметри його невідомі, то застосовують критерій χ^2.

Вихідними даними для застосування критерію χ² є: число спостережень n, число інтервалів перетвореного статистичного ряду k, число значень результатів спостережень n_i, що потрапили в i-тий інтервал, границі інтервалів X_i і декілька перших моментів (обчислених до перетворення ряду), число яких дорівнює числу параметрів теоретичного розподілу.

Обчислення за критерієм χ² виконуються в такий спосіб.

Висунувши гіпотезу про розподіл, встановлюють, від яких параметрів він залежить. Якщо значення всіх або частини параметрів невідомі, то вони заміняються оцінками, які звичайно визначаються за формулами, що зв'язують їх з емпіричними моментами.

Після визначення оцінок параметрів теоретичної функції розподілу F(x) обчислюються ймовірності p_i влучення випадкової величини в кожний з інтервалів при використанні в якості параметрів теоретичної функції розподілу отримані раніше оцінки невідомих параметрів, тобто обчислюють значення

, (6)

де – теоретична щільність розподілу випадкової величини при заміні значень складового вектора параметрів R їхніми оцінками.

Отримані значення використовуються для знаходження величини χ²_q, яка дорівнює

χ²_q= . (7)

Потім визначається число ступенів свободи r розподілу χ², рівне

r = k - s -1, (8)

де s - число оцінюваних параметрів теоретичного розподілу.

За r й χ²_q за допомогою таблиць, які наведені у Додатку, визначається ймовірність того, що величина, що має розподіл χ² з r ступенями свободи, перевершить дане значення χ²_q. Якщо ця ймовірність мала, то гіпотеза про приналежність вибірки до обраного теоретичного закону розподілу відкидається. Як правило, “малість” імовірності відповідає величинам 0,01 і менш.

У тому випадку, коли стоїть задача вибору “найкращого” теоретичного розподілу із заданого класу розподілів, у якості такого вибирається той з розподілів, для якого виконуються наступні умови:

1. Не виконується умова “малості”.

2. Значення максимальне із всіх розподілів, для яких виконується перша умова.

Відповідно до вираження (10), для визначення значення величини р_i необхідне знання оцінок параметрів розподілів, прийнятих у якості теоретичних. Відповідно до умов завдання в якості альтернативних законів розподілу результатів вимірювань прийнятий нормальний закон розподілу

, (9)