Министерство образования и науки Украины

Одесский национальный политехнический университет

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

З ДИСЦИПЛІНИ

“Основи метрології, взаємозамінності

й стандартизації".

для студентів інституту радіоелектроніки та телекомунікацій

Рівень підготовки – бакалавр

Напрямок - 6.050902 - РАДІОЕЛЕКТРОННІ АПАРАТИ

Напрямок - 6.050802 - Електронні пристрої та системи

Затверджено на засіданні

кафедри електронних засобів і

інформаційно-компьютерних

технологій

Протокол № від 2011

Одеса онпу 2011

Методичні вказівки до виконання курсового проекту з дисципліни "Основи метрології, взаємозамінності й стандартизації" для студентів інституту радіоелектроніки та телекомунікацій.

Рівень підготовки – бакалавр.

Напрямок - 6.050902 - РАДІОЕЛЕКТРОННІ АПАРАТИ

Напрямок - 6.050802 - Електронні пристрої та системи

Укл. О.В.Циганов. Одеса: ОНПУ, 2011. - 23 с.

Укладач: О.В.Циганов, канд. техн. наук, доц.

Практичне заняття №1

Побудова гістограми

1. Мета заняття.

Метою практичного заняття є придбання практичних навичок в побудові гістограм за результатами вимірювань.

2. Загальні теоретичні положення

Чисельне значення фізичної величини виходить у результаті її вимірювання, тобто порівняння її з іншою величиною того ж роду, прийняту за одиницю. Результат вимірювання буде залежати від обраного методу, умов, що існують під час виміру, якості використаного засобу вимірювання й кваліфікації спостерігача. Тому при вимірюваннях завжди одержують наближене значення вимірюваної величини. Результат вимірювання х являє собою лише оцінку вимірюваної величини А, оскільки в нього вкладена деяка погрішність 

х = А +  (1)

Відповідно до закономірностей прояву розрізняють систематичні, випадкові, грубі погрішності вимірювання й промахи.

Систематичною складової погрішності вимірювання називається така, що залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірюваннях однієї й тієї ж величини. Виявлення систематичних погрішностей, викликаних кожним окремим фактором, вимагає спеціальних досліджень й як тільки вони виявлені і їхні значення розраховані, вони можуть бути усунуті шляхом введення відповідних виправлень у результати вимірювання.

Випадковою складової погрішності вимірювання називається така, що змінюється випадковим образом при повторних вимірюваннях однієї й тієї ж незмінної величини. Випадкові погрішності є непереборними, їх не можна виключити в кожному з результатів вимірювань. Але за допомогою методів теорії імовірності можна врахувати їхній вплив на оцінку дійсного значення вимірюваної величини, що дозволяє визначити значення вимірюваної величини зі значно меншою погрішністю, ніж помилки окремих вимірювань.

Грубою погрішністю називають погрішність, що істотно перевищує погрішність, виправдану умовами вимірювання, властивостями застосовуваних засобів вимірювань, методом вимірювань, кваліфікацією експериментатора. Грубі погрішності виявляють статистичними методами й виключають із розгляду.

Промахи є наслідком неправильних дій експериментатора. Промахи виявляються нестатистичними методами, їх варто завжди виключати з розгляду.

Для зменшення впливу випадкових погрішностей на оцінку "дійсного" значення вимірюваної величини використовують багаторазові вимірювання, результати яких надалі піддаються обробці за допомогою спеціальних математичних методів, заснованих на результатах теорії імовірності й математичної статистики.

В якості закону розподілу випадкових погрішностей вимірювань найчастіше приймають нормальний закон розподілу з нульовим середнім, щільність розподілу якого описується вираженням:

, (2)

де параметр  є середньоквадратичним відхиленням (СКВ) і характеризує точність вимірів.

Відповідно до цього закон розподілу результатів вимірювань буде описуватися також нормальним законом, але вже з ненульовим середнім значенням, значення якого буде відповідати значенню вимірюваної величини.

, (3)

Однак у деяких випадках (особливо при оцінці позитивних характеристик) закон розподілу результатів вимірювань може відрізнятися від нормального. Тому в тому випадку, коли апріорі закон розподілу результатів вимірювання точно невідомий, безпосередньо перед обробкою результатів вимірів необхідно оцінити їхній закон розподілу обробивши відповідним чином ряд отриманих незалежних спостережень. Для опису емпіричного закону розподілу випадкової величини використовують статистичний ряд, який графічно оформляється у вигляді так називаної гістограми.

Результати n незалежних спостережень над об'єктами однієї генеральної сукупності можна розглядати як значення n незалежних однаково розподілених випадкових величин або як n незалежних значень однієї випадкової величини. Упорядковані по величині результати спостережень х₍₁₎, х₍₂₎,…, x_(n), (х_(і) ≤ х_(і+1)) називають варіаційним рядом або рядом розподілу. Різниця між найбільшим і найменшим членами R = x_(n) - х₍₁₎ називають розмахом емпіричного розподілу, а число спостережень n – об'ємом вибірки.

При великій кількості спостережень статистичний ряд визначається як частота ν_i появи значень випадкової величини в послідовності деяких інтервалів її значень:

. (4)

Для створювання статистичного ряду інтервал значень результатів незалежних спостережень розбивається на ділянки h_i і для кожної ділянки визначають частоту як відношення числа n_i випадкових величин, значення яких потрапили в цей інтервал, до загального числа n значень випадкової величини, отриманих у результаті досвідів. Для побудови гістограми за даними статистичного ряду на осі абсцис відкладаються інтервали, на яких як підставах будуються прямокутники, висота яких дорівнює

(5)

Площа кожного прямокутника дорівнює частоті ν_i, , а сума площ всіх прямокутників дорівнює одиниці. При цьому верхня частина контуру гістограми утворить статистичний аналог для щільності ймовірності.

Якщо інтервали рівні, то гістограму можна будувати безпосередньо по частоті.

При виборі числа інтервалів й їхніх границь ураховуються наступні рекомендації:

1. Характерні риси емпіричного розподілу не повинні, з однієї сторони, зникнути через занадто мале число інтервалів, а з іншого боку - не повинні бути перекручені випадковими коливаннями частот при занадто великому числі інтервалів. Тому число інтервалів вибирається в межах 10-15. (При малому об'ємі вибірки число інтервалів зменшують до 5-6).

2. Бажано, щоб інтервали були рівні по тривалості, якщо коливання щільності розподілу не дуже великі.

3. Області згущення результатів спостережень (якщо вони існують) повинні бути по можливості ближче до середини інтервалів.

4. Можливо менше число спостережень повинне збігатися із границями інтервалів.

Найбільш простий спосіб групування складається з наступних операцій:

1. Розмах ділиться на m -1 рівних частин, довжина кожної з яких дорівнює

, де х₍₁₎ і х_(n) відповідно мінімальне й максимальне значення із сукупності спостережень, використовуваних для побудови гістограми.

2. Ліва X₀ і права X_m границі області розподілу визначаються як

X₀ = х₍₁₎ – h/2; X_m = x_(n) + h/2.

3. Границі X_i проміжних інтервалів приймаються рівними

X_i = X₀ + іh, i=1,…,m-1...

Примітка: Зміна границь області розподілу на h/2 не обов'язково й може бути в інтересах зручності обчислень або за умовами досліду прийнята різною у межах від 0 до h/2. Це може бути застосовано, наприклад, у тому випадку, коли за фізичним передумовами результати вимірів можуть приймати значення тільки одного знака - тобто функція розподілу й щільність розподілу є однобічними.

Приклад. Нехай потрібно побудувати гістограму за рядом наступних 100 значень

результатів вимірювань:

0.45, 0.43, 0.95, 0.66, 0.64, 1.21, 0.48, 0.46, 0.31, 0.35, 0.92, 1.28, 1.42, 1.34, 0.79, 0.47, 0.25, 0.6, 0.6, 1.07, 1.09, 0.68, 0.93, 1.44, 0.84, 0.47, 1.96, 0.86, 0.43, 0.75, 1.22, 0.63, 0.28, 0.62, 0.47, 0.86, 0.48, 0.81, 1.16, 0.63, 0.4, 0.44, 0.76, 1.02, 0.78, 1.28, 1.4, 1.21, 1.71, 0.96, 1.46, 0.53, 1.22, 0.44, 0.34, 1.59, 1.09, 1.4, 1.54, 0.72, 0.82, 0.69, 0.43, 0.28, 0.64, 0.47, 1.15, 0.75, 1.47, 0.71, 1.44, 1.04, 1.67, 1.24, 2.22, 0.73, 0.42, 0.97, 1.47, 0.82, 0.79, 1.18, 1.94, 0.31, 1.95, 0.69, 1.28, 0.13, 1.01, 0.44, 0.28, 0.94, 1.18, 1.24, 0.47, 1.62, 1.3, 2.31, 0.48, 0.85

Установити, якому з видів законів розподілу (нормальному, єкспонентному або закону Релея) більше всього відповідає побудована гістограма

Рішення.

Відповідно до наведеної методики

1. Вибираємо число інтервалів розбивки m = 10.

2. За результатами вимірювань будуємо варіаційний ряд:

0.13, 0.25, 0.28, 0.28, 0.28, 0.31, 0.31, 0.34, 0.35, 0.4,

0.42, 0.43, 0.43, 0.43, 0.44, 0.44, 0.44, 0.45, 0.46, 0.47,

0.47, 0.47, 0.47, 0.47, 0.48, 0.48, 0.48, 0.53, 0.6, 0.6,

0.62, 0.63, 0.63, 0.64, 0.64, 0.66, 0.68, 0.69, 0.69, 0.71,

0.72, 0.73, 0.75, 0.75, 0.76, 0.78, 0.79, 0.79, 0.81, 0.82,

0.82, 0.84, 0.85, 0.86, 0.86, 0.92, 0.93, 0.94, 0.95, 0.96,

0.97, 1.01, 1.02, 1.04, 1.07, 1.09, 1.09, 1.15, 1.16, 1.18,

1.18, 1.21, 1.21, 1.22, 1.22, 1.24, 1.24, 1.28, 1.28, 1.28,

1.3, 1.34, 1.4, 1.4, 1.42, 1.44, 1.44, 1.46, 1.47, 1.47,

1.54, 1.59, 1.62, 1.67, 1.71, 1.94, 1.95, 1.96, 2.22, 2.31

3. Визначаємо мінімальне й максимальне значення серед отриманих результатів. Такими значеннями будуть: x_min = 0,13; x_max = 2,31.

4. Визначаємо довжину інтервалів

h = (2.31 - 0.13)/9 = 0.242

5. Визначаємо ліву й праву границі області розподілу

X₀ = x_min – h/2 = 0.13 – 0.121 = 0.009

X₁₀ = x_max + h/2 = 2.31 + 0.121 = 2.431

6. Визначаємо границі проміжних інтервалів

X₁ = X₀ + h = 0.009 + 0.242 = 0.251

X₂ = X₀ + 2h = 0.009 + 0.484 = 0.493

X₃ = X₀ + 3h = 0.009 + 0.726 = 0.735

X₄ = X₀ + 4h = 0.009 + 0.968 = 0.977

X₅ = X₀ + 5h = 0.009 + 1.21 = 1.219

X₆ = X₀ + 6h = 0.009 + 1.452 = 1.461

X₇ = X₀ + 7h = 0.009 + 1.694 = 1.703

X₈ = X₀ + 8h = 0.009 + 1.936 = 1.945

X₉ = X₀ + 9h = 0.009 + 2.178 = 2.187

7. Відповідно до (4) будуємо статистичний ряд:

У перший інтервал (0.009 - 0.251) потрапило 2 значення результатів вимірювань: 0.13 й 0.25. У другий (0.251 - 0.493) - 25 значень і так далі.

Таким чином ν₁ = 0.02, ν₂ = 0.25, ν₃ = 0.15, ν₄ = 0.19, ν₅ = 0.12, ν₆ = 0.15,

ν₇ = 0.06, ν₈ = 0.02, ν₉ = 0.02, ν₁₀ = 0.02.

8. Відповідно до вираження (5) розраховуємо значення p_i. Результати розрахунків наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

№ інтервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
pi	0.083	1.033	0.620	0.785	0.496	0.620	0.248	0.083	0.083	0.083

За отриманими результатами будуємо гістограму, вид якої наведений на рисунку 1.

Рис.1

Отримана гістограма по своєму виду найбільше відповідає закону розподілу Релєя.