8.5 Вопросы к защите практической работы № 8

1. Что называется квантором всеобщности? Каким символом он обозначается?

2. С помощью, каких слов выражается квантор общности? Приведите примеры.

3. Что называется квантором существования? Каким символом он обозначается?

4. С помощью, каких слов выражается квантор существования? Приведите примеры.

5. Что называется квантором единственности? Каким символом он обозначается?

6. С помощью, каких слов выражается квантор единственности? Приведите примеры.

7. Измениться ли истинность высказывания, если поменять местами в многоместном предикате одноименные кванторы? Привести примеры.

8. Измениться ли истинность высказывания, если поменять местами в многоместном предикате разноименные кванторы? Привести примеры.

9. Перечислить способы построения отрицания высказывания с кванторами. Привести примеры.

9 Практическая работа №9 Бинарные отношения

Цель работы: Изучить понятие бинарного отношения и его свойства.

9.1 Ход работы:

1) изучить теоретический материал по теме практической работы (лекции, учебники);

2) выполнить задание своего варианта;

3) составить отчет по работе;

4) защитить работу.

9.2 Содержание отчета

Отчет по практической работе должен содержать:

1) тему работы;

2) цель работы;

3) ход работы;

4) формулировку заданий;

5) решение заданий своего варианта.

3. Методические указания к практической работе № 9

Определение. Пусть А и В - множества. Произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а, в), где аА и вВ. Произведение обозначается АВ.

АВ={(a,b):aA и bB}.

Произведение двух множеств часто называют прямым или декартовым произведением. Заметим, что произведение n штук одного и того же множества А обозначается через Аⁿ .

Примеры.

1) Если А = {a, b}, B = {0, 1}, C = , то

АВ = {(a, 0), (a, 1), (b, 0), b, 1)},

BA = {(0, a) (0, b), (1, a), (1, b)},

AC = CA = .

2) Пусть R – множество действительных чисел. Тогда R² – множество, которое обычно изображается в виде плоскости, а элементы из R² называются точками плоскости.

3) Пусть [a, b], [c, d] – отрезки прямой. Тогда [a, b][c, d] – прямоугольник на плоскости.

Определение. Бинарным отношением (или просто отношением) в АВ называется любое подмножество множества АВ.

Примеры.

1) Пусть А = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Тогда AB = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7)}.

2) Возьмем S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6)}. Ясно, что SAB, т.е. S является бинарным отношением в AB. Это отношение может быть охарактеризовано следующей формой

S = {(x,y)AB: xA является делителем yB}.

Определение. Пусть А некоторое множество, а b(А) множество всех его подмножеств. Множество b(А) называется булеаном. Пусть W отношение в b(А)  b(А), задаваемое формой:

W = {(B, C)b(A)b(A): BC}.

Тогда W является отношением включения множеств.

Если S является некоторым отношением и (x, y)S, то мы будем писать xSy и говорить, что x находится в отношении S с y.

Если S является отношением в АА, то говорят, что S является отношением в А.

Пусть S некоторое отношение в АВ. Введем два множества:

D_S = {aA: bB: (a,b)S},

R_S = {bB: aA: (a,b)S}.

Определение. Множество D_S называется областью определения отношения, а множество R_S – областью значений. Если D_S = A, то такое отношение называют всюду определенным, а если R_S = B – сюръективным. Когда отношение одновременно является сюръективным и всюду определенным, то говорят, что S отношение на АВ (соответственно на А, если В=А).

Определение. Отношение S называется инъективным, если из (a, b)S и (c, b)S следует, что а = с. Если отношение S является всюду определенным, инъективным и сюрьективным, то его называют биективным .

Иногда отношения называются соответствием между элементами множества А и В.

Определение. Пусть S некоторое отношение в АВ. Введем отношение S^-1 следующим образом: (у, х) S^-1  (х, у) S. Отношение S^-1 назовем обратным отношением.

Определение. Отношение S на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) аSа для аА (рефлексивность);

2) если аSв, то вSа (симметричность);

3) если аSв и вSс, то аSс (транзитивность).

В дальнейшем отношение эквивалентности будем обозначать значком .

Определение. Пусть задано отношение эквивалентности на А. Множество ХА называется классом эквивалентности для этого отношения, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) для любых хХ и уХ выполняется х  у;

2) если хХ , уА и х  у, то уХ.

Пусть на А задано отношение эквивалентности. Введем следующее обозначение:

[x] = {yA: x  y}.

Нетрудно видеть из определений, что [x] является классом эквивалентности. Его называют классом эквивалентности, порожденным элементом х.

Лемма 1. Для классов эквивалентности [x] и [y] возможны только следующие два случая:

1) [x] = [y];

2) [x][y] = .

В этом случае говорят, что {A_} задает разбиение А. Из доказанной леммы вытекает, что классы эквивалентности задают разбиение на А. Оказывается, верно и обратное.

Лемма 2. Если {A_} - некоторое разбиение множества А, то отношение S, определяемое следующим условием: аSв   : аА_ и вА_, является отношением эквивалентности.

Теорема. Пусть S - некоторое отношение эквивалентности на А. Пусть {А_} - разбиение множества А, порожденное этим отношением (лемма 1). Пусть Т - отношение эквивалентности, порожденное разбиением {А_} (лемма 2). Тогда S=T.