7.5 Вопросы к защите практической работы № 7

1. Что называется предикатом? Приведите примеры предикатов.

2. Что называется множеством истинности предиката?

3. Какие предикаты называются одноместными, двуместными, n-местными? Как они обозначаются? Приведите примеры.

4. Перечислите операции, которые можно осуществлять над предикатами.

5. Что называют конъюнкцией двух предикатов?

6. Что называют дизъюнкцией двух предикатов?

7. Что называют импликацией двух предикатов?

8. Что называют эквиваленцией двух предикатов?

9. Что называют отрицанием предиката?

10. Какие предикаты называются равносильными? Приведите примеры равносильных предикатов.

8 Практическая работа №8 Высказывания с кванторами. Построение отрицаний высказывания с кванторами.

Цель работы: Изучить понятие кванторы. Научиться записывать высказывания, используя кванторы, и определять их истинность. Научиться строить отрицание высказывания с кванторами.

8.1 Ход работы:

1) изучить теоретический материал по теме практической работы (лекции, учебники);

2) выполнить задание своего варианта;

3) составить отчет по работе;

4) защитить работу.

8.2 Содержание отчета

Отчет по практической работе должен содержать:

1) тему работы;

2) цель работы;

3) ход работы;

4) формулировку заданий;

5) решение заданий своего варианта.

8.3 Методические указания к практической работе № 8

8.3.1 Кванторные операции

Рассмотрим операции, преобразующие предикаты в высказывания.

Определение. Пусть имеется предикат Р(х) определенный на множестве М. Если «а» – некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает этот предикат в высказывание Р(а). Такое высказывание называют единичным.

Например, r(x): «х – четное число» – предикат, а r (6)- истинное высказывание, r (3) – ложное высказывание.

Наряду с образованием из предикатов высказываний в результате таких подстановок в логике предикатов рассматриваются еще две операции, которые превращают одноместный предикат в высказывание. Эти операции называются операциями квантификации (или просто квантификацией, или связыванием кванторами, или навешиванием кванторов).

Определение. Квантор – это логическая операция, которая по предикату Р(х) строит высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х).

Квантор всеобщности

Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: «Для всякого х Р(х) истинно».

Символ называют квантором всеобщности (общности).

Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании же х называют связанной квантором всеобщности.

Квантор существования

Пусть P(x) - предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: «Существует x, при котором P(x) истинно».

Символ называют квантором существования. В высказывании переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат P(x,y). Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

Квантор единственности

Можно составить и такое высказывание «Во множестве X есть один и только один элемент а, такой что F(a) - истинное высказывание».

Это высказывание обозначают: (!хX)F(x)

Символ ! – называют квантором единственности.

Квантор единственности выражается словами «единственный», «один и только один».

При навешивании кванторов на многоместные предикаты, каждая переменная может быть связанная своим квантором. При этом два квантора одного предиката можно менять местами, истинность высказывания при этом не изменится. При навешивании разноименных кванторов нельзя менять местами их порядок, т.к. может измениться истинность высказывания.

Примеры:

1)X – это множество людей; F(x) : «Рост человека меньше 180см».

Рассмотрим все варианты навешивания кванторов, определим их истинность:

(xX)F(x) – «У всех людей рост меньше 180 см» - Л

(xX)F(x) – «У некоторых людей рост меньше 180 см» - И

(!xX)F(x) – «У единственного человека рост меньше 180см» - Л

2) Q(x): «2x+3=9», xR;

(xX)Q(x) – «Любое действительное число являются корнем уравнения 2x+3=9»-Л

(!xX)F(x) –«Единственное число является корнем уравнения 2x+3=9» - И

3) F(x, y) – «Человек x родился в году y»

X – множество людей;

Y – множество годов рождения;

xX, yY

(xX)(yY)F(x) F(x, y) «Для каждого человека х есть год у, в котором он родился»– И

(yY)(xX) F(x, y) – «Существует год у, в котором родился любой человек х» - Л