Проблема представления отрицательных чисел

Основное неудобство построения устройств, реализующих арифметические операции, состоит в сложном характере алгоритма вычитания. Для его преодоления в ЭВМ всегда операция выполняется по иным правилам, чем это делается обычно. В его основе лежит операция сложения. Алгоритмы выполнения такого рода операций требуют специальных кодов представления отрицательных чисел.

Прямой код.

Это естественное и наиболее привычное представление числа в следующем виде:

знак: "+" соответствует 0

"-" соответствует 1

В цифровых разрядах пишется модуль положительного или отрицательного числа.

[X]_пк - обозначим таким образом изображение числа "X" в прямом виде.

Рассмотрим диапазоны представляемых чисел:

X_+min = 0,000....0 - изображение положительного нуля

X_+max = 0,111....1 = 1 - 2^-n

X_-min = 1,111....1 = -(1-2^-n)

X_-max = 1,000....0 - изображение отрицательного нуля.

Таким образом, нуль имеет двоякое изображение.

Замечания.

1. Перед выполнением операции вычитания чисел с одинаковыми знаками и сложения с разными, необходимо сравнить по модулю два кода и, если нужно, сделать перестановку кодов местами, затем можно выполнять собственно операцию вычитания кодов.

2. При выполнении операции умножения отдельно и независимо находятся модули произведений кодов, а знак находится как результат операции сложения по модулю два:

3. [X]_пк * [Y]_пк = sign Z. |Z|

4. |Z| = |X|*|Y|

5. sign Z = sign X sign Y или S_z = S_x S_y

Собственно умножение выполняется с применением микроопераций сложения и сдвига.

Аналогично умножению выполняется операция деления с использованием микроопераций вычитания и сдвига.

Вследствие ряда неудобств в ЭВМ операции вычитания, сложения чисел с разными знаками и деления в прямом коде практически не выполняются.

Дополнительный код.

Дополнительным называется код, в котором для положительного числа в знаковом разряде пишется "0", в цифровых - модуль числа, а для отрицательного в знаковом разряде пишется "1", в цифровых - дополнение числа до единицы.

Если некоторое X_- = -0, _{1 2}… _n нужно представить в дополнительном коде, то

где: 1 - 0, _{1 2}… _n = 0, Z₁Z₂…Z_n

Диапазоны представленных чисел:

Х_{+ min} = 0,0…0 - положительный нуль

Х_{+ max} = 0,11…1 = 1-2^-n - максимальное положительное число.

X_{- min} = 1,11…1 = 2-2^-n - минимальное отрицательное число

X_{- max} = 1,0…0 - наибольшее(по модулю) отрицательное число

Таким образом, нуль имеет единственное представление.

В самом деле, так как

X-X = [X₊]_дк + [X_-]_дк = 0, то в дополнительном коде: |X₊| + 10 - |X_-| = 10, если в разрядной сетке ЭВМ нет второго знакового разряда, то это переполнение теряется, и в знаковом разряде будет только нуль.

Важная особенность в получении дополнительного кода отрицательного числа состоит в следующем:

Таким образом, для записи дополнительного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, проинвертировать все цифровые разряды числа и прибавить единицу в младший разряд. Это также правило перевода из дополнительного кода в прямой код.

Рассмотрим на примерах выполнение операции сложения двух чисел с разными знаками.

Возможны следующие случаи:

1. X₊ + Y₊ = S₊

2. X₊ + Y_- = S₊

3. X₊ + Y_- = S_-

4. X_- + Y_- = S_-

Необходимо помнить, что нельзя, выполняя операции, выходить за диапазон представляемых в данной разрядной сетке чисел, записанных с фиксированной запятой.

Положим n = 3, 1 - знаковый разряд и 2 - цифровых.

1. X₊ = 0,10

2. Y₊ = 0,10

3. В дополнительном коде

То есть, нет никаких особенностей.

4. X₊ = 0,10

5. Y_- = -0,01

6. В дополнительном коде

Переполнение теряется и получается верный результат.

7. X₊ = 0,01

8. Y_- = -0,11

9. В дополнительном коде

10. X_- = -0,10

11. Y_- = -0,01

12. В дополнительном коде

Возникающее переполнение теряется и общий результат отрицательный.

Таким образом, важной особенностью дополнительного кода является то, что знаковый разряд в процессе выполнения операции рассматривается совместно с цифровым. Возникающие переносы теряются и не влияют на результат операции.