Способы представления чисел в эвм

Как мы знаем, применяются два основных способа представления чисел - с фиксированной и плавающей запятой. Большинство универсальных ЭВМ работает с числами, представленными с плавающей запятой, а большинство специализированных - с фиксированной запятой. В общем виде способ представления чисел сильно влияет на характер программирования. Так, программирование для ЭВМ, работающих в системе с фиксированной запятой, значительно усложняется, поскольку помимо алгоритмических трудностей этот процесс требует ещё отслеживания положения запятой.

Фиксированная запятая

Оговоримся, что разрядная сетка машины имеет постоянное число разрядов - n.

При представлении чисел с фиксированной запятой считают, что запятая всегда находится перед старшим разрядом, а все числа, которые участвуют в вычислениях, считаются по абсолютной величине меньше единицы:

|X| < 1

Введём две характеристики чисел: диапазон изменения и точность представления.

Диапазон изменения характеризуется теми пределами, в которых могут находиться числа, с которыми оперирует машина.

Отличное от нуля самое малое число:

Таким образом, диапазон чисел, с которыми работает ЭВМ, есть:

|X|_min |X||X|_max

2^-n |X|1 - 2^-n

Иными словами, числа, которые выходят за диапазон изменения, в ЭВМ не могут быть представлены точно. Если

|X| < |X|_min = 2^-n,

то такое число воспринимается как нуль.

Если:

|X| > |X|_max = 1- 2^-n,

то такое число воспринимается как бесконечно большое. Этим двум случаям соответствуют понятия машинного нуля и машинной бесконечности.

При оптимальном округлении абсолютная ошибка:

|ΔX| 0,5*2^-n

Минимальная относительная ошибка:

|ΔX| 0,5*2^-n

|x|_min = ------- = ----------- 2^-(n+1)

|X|_max 1-2^-n

так как 1-2^-n 1 при большом "n"

Максимальная относительная ошибка:

|ΔX| 0,5*2^-n

|X|_max = ----- = ------------- = 0,5

|X|_min 2^-n

Ошибка представления числа зависит от величины самого числа и способа округления:

2^-(n+1) |X|0,5

Заметим, что для малых чисел ошибка может достигать большой величины.

Плавающая запятая

В ЭВМ с плавающей запятой число представляется в виде:

X = ± M_x * q^±p,

где: M_x - мантисса числа;

q - основание системы счисления;

p - порядок.

Разрядная сетка машины принимает следующий вид:

Это лишь условное изображение основных слогов в числе. Заметим, что в реальной ЭВМ может быть принят любой другой порядок расположения.

Пусть "m" разрядов отведено под изображение мантиссы, а "k" разрядов под изображение порядка. Тогда для двоичной системы и нормализованного вида числа:

q = 2;

0,1 Mx < 1 - нормализованная мантисса.

То есть диапазон чисел:

Абсолютная ошибка представления числа в ЭВМ с плавающей запятой равна:

|ΔX| 0,5*2^-m

Так как

2^-1 |M_x| 1-2^-m,

то минимальная относительная ошибка:

|ΔX|_min = (0,5*2^-m) / (1 - 2^-m) 2^-(m+1), при m - большом,

а максимальная относительная ошибка:

|ΔX|_max =(0,5*2^-m) / (2^-1) = 2^-m

Видно, что относительная ошибка в ЭВМ с плавающей запятой не зависит от порядка числа. При этом точность представления больших и малых чисел изменяется незначительно.

Теоретически "плавающая запятая" имеет преимущества перед "фиксированной". Но соответствующее устройство получается намного сложнее. К тому же специфика выполнения операций с плавающей запятой требует большего числа микроопераций, что приводит к снижению быстродействия ЭВМ. Однако "плавающая запятая" снимает с программиста обязанность отслеживать положение запятой в вычислениях и значительно упрощает сам процесс программирования вычислительных задач.