§4. Достаточные условия оптимального синтеза

Для нахождения функции Беллмана V(t, x), являющейся, по определению, минимальным значением функционала качества в задаче (x, T – t), требуется интегрировать уравнение (4.10) с начальным условием (4.6). Это равносильно решению уравнения (4.10) "с конца".

Заметим, что вопросы существования и единственности решения задачи (4.10), (4.6), а также свойства ее решения в настоящее время изучены слабо. Здесь эта задача нас будет интересовать лишь с точки зрения решения проблемы синтеза.

Итак, предположим, что уравнение (4.10) выполнено и при этом справедливы предположения A, B.

Функцию, стоящую под знаком минимума в (4.10), обозначим

(4.12)

Для каждой фиксированной точки (t, x)Г минимум в (4.10) берется по множеству U (а не по U). Так как согласно предположениям U компактно, а функция R непрерывна по u, то в любой точке (t, x) существует такое , что

т.е. уравнение (4.10) в каждой точке (t, x)Г дает "мгновенное" оптимальное значение какой-то функции . Эта функция может, вообще говоря, зависеть от разных аргументов. Чтобы подчеркнуть конкретную зависимость (т.е. конкретный класс функций), говорят, что минимум в (4.10) реализуется на функции вида u = u(t) или u = u(x), или u = u(t, x) и т.д.

Гладкая функция V, зависящая от кусочно-гладкого решения x системы (4.1), в результате оказывается кусочно-гладкой по t. Поэтому за исключением, быть может, конечного числа моментов на отрезке [t,T] мы можем написать (см. (4.12)):

Интегрируя это уравнение на [t,T], получим:

Применяя условия (4.6) и (4.7), имеем:

Отсюда

(4.13)

Теорема 4.2. Пусть в (4.1)-(4.4) выполнены следующие условия:

1. в любой точке (t, x)Г выполнено условие (4.10) и существует удовлетворяющее предположению В решение V(t, x) этого уравнения с начальным условием (4.6);

2. минимум в (4.10) реализуется на функции вида , удовлетворяющей требованиям а) и б) из определения 4.1 оптимального синтезирующего управления.

Тогда управление

(4.14)

является оптимальным синтезирующим управлением в задаче (4.1)-(4.4), а V(t, x) – функцией Беллмана.

Доказательство. Рассмотрим произвольную (t, x)-задачу (x, T – t). Пусть , [t,T], – допустимое управление из условия 2) теоремы. По условию а) определения 4.1 существует единственная кусочно-гладкая траектория , а по условию b) определения 4.1 функция вида кусочно-непрерывна на [t,T], причем для любых [t,T]. Для доказательства оптимальности (4.14) достаточно показать выполнение для него условия c) определения 4.1.

Так как реализует минимум в (4.10) по условию 2), то для всех uU, xM() справедливы соотношения

. (4.15)

Для произвольного программного yправления u(), [t,T], в задаче (x,T–t) и для соответствующей ему траектории x()M(), [t,T], выполняются включения u()U для каждого [t,T]. Поэтому из (4.15) следует

(4.16)

Так как , из (4.13), (4.15) и (4.16) имеем:

(4.17)

т.е. В силу произвольности управления это неравенство означает оптимальность программного управления в задаче (x,T–t). Таким образом, условие c) определения 4.1 выполняется и управление , вычисляемое по формуле (4.14), является оптимальным синтезом в задаче (4.1)-(4.4).

Покажем теперь, что V(t, x) является функцией Беллмана. Из (4.17) видно

Отсюда (подставляя значение J(x, u) из (4.13)):

Тем самым показано, что V(t, x) и в самом деле является функцией Беллмана задачи (4.1)-(4.4), а функция , на которой достигается минимум в (4.10) – является оптимальным синтезирующим управлением для этой задачи. Теорема доказана.

Данная теорема дает достаточное условие оптимального синтеза в задаче (4.1)-(4.4), а также, и это будет использовано в следующем параграфе, показывает, как решение задачи оптимального синтеза сводится к решению уравнения Беллмана (4.10) с граничным условием (4.6).