§7. Принцип максимума в автономных задачах с подвижными концами

Рассмотрим задачу (3.32)-(3.36), в которой вместо конечной точки x ¹ дано целое множество M ¹ Rⁿ. Требуется из точки x ⁰ привести систему (3.32) в любую точку x ¹ M ¹ так, чтобы минимизировался функционал (3.36).

Будем считать, что множество M ¹ задано системой

_i(x) = 0, i = 1, ..., k, (3.42)

т.е. .

Для каждой фиксированной точки x ¹ M ¹ получаем задачу (3.32)-(3.36). Поэтому в каждом конкретном случае в пределах множества M ¹ справедлива теорема 3.8 или теорема 3.9 в зависимости от фиксированности или нет времени Т.

Изменение формулировки необходимых условий в задаче с подвижным правым концом заключается в замене условия (3.35) на правом конце оптимальной траектории на граничное условие для сопряженной системы (3.38). Оно заключается в ортогональности вектора множеству M ¹ в точке и называется условием трансверсальности (см. также §5).

Выведем аналитический вид этого условия. Пусть в момент Т система (3.32)-(3.33) пришла в точку (см. рис. 3.4), т.е.

(3.43)

По определению, для касательной гиперплоскости P_i в точке x* и для любой точки xP_i

Это есть уравнение касательной гиперплоскости P_i. Составим пересечение всех касательных гиперплоскостей в точке x*:

.

Это есть линейное множество, касательное к M ¹ в точке x*.

Условие трансверсальности на правом конце заключается в ортогональности вектора этому множеству P, т.е.

для всех xP.

Так как 0 есть минимальное значение скалярного произведения на многообразии P, то точка является решением следующей задачи:

Необходимым и достаточным условием оптимальности в этой задаче является равенство

(3.44)

где _i – множители Лагранжа. Это и есть окончательный аналитический вид условия трансверсальности.

Принцип максимума для задачи (3.32)-(3.36) с подвижным правым концом принимает следующую форму.

Теорема 3.10. Пусть – оптимальный программный процесс в задаче (3.32)-(3.36) с подвижным правым концом, где M ¹ имеет вид (3.42). Тогда существуют непрерывные вектор-функции , ..., и число такие, что выполняются условия 1)-3) теоремы 3.8 и условие (3.44) вместе с равенством (3.43). Если время Т нефиксировано, то, кроме того, имеет место условие 4) теоремы 3.8.

Аналогично можно получить условие трансверсальности в задаче с подвижным левым концом (x ⁰M ⁰, x (T) = x ¹):

§8. Принцип максимума для неавтономных систем

Рассмотрим следующую задачу:

, t₀  t  T (T – нефиксировано), (3.45)

x(t₀) = x ⁰, (3.46)

u(t)U, t₀  t  T, (3.47)

x(T) = x ¹, (3.48)

(3.49)

Предположим функции f₀, f₁, …, f_n непрерывными по всем переменным и непрерывно дифференцируемыми по t и x; U – множество кусочно-непрерывных управлений с условием (3.47).

Принцип максимума для (3.45)-(3.49) можно получить из принципа максимума для автономных задач с подвижным правым концом (см. теорему 3.10).

"Превратим" время t в фазовую координату: , тогда , . Тогда задача (3.45)-(3.49) запишется так:

(3.50)

где L – прямая, параллельная оси Ox_n+1.

Получили автономную задачу с подвижным правым концом. Так как задача (3.50) эквивалентна задаче (3.45)-(3.49), то оптимальный в задаче (3.45)-(3.49) процесс является оптимальным в задаче (3.50). Поэтому, согласно теореме 3.10, существуют непрерывная вектор-функция и число , удовлетворяющие условиям 1)-3) теоремы 3.8.

Равенство (3.40) записывается так:

, t₀  t  T. (3.51)

Условие трансверсальности на правом конце означает ортогональность вектора к прямой L и поэтому имеет вид

. (3.52)

Наконец, предположение о том, что вектор не является тривиальным, остается в силе.

Итак, принцип максимума в задаче (3.45)-(3.49) можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3.11. Пусть – оптимальный программный процесс в задаче (3.45)-(3.49) с нефиксированным временем Т. Тогда существуют непрерывная вектор-функция и число такие, что

1. выполнены первые три условия теоремы 3.8, где f_i = f_i (t, x, u), i = 0,1, ..., n; ;

2. выполнено равенство (3.51).

Примечание. Условие трансверсальности, как таковое, в теореме 3.11 отсутствует, так как оно задается условием (3.52), а переменной _n+1 в теореме 3.11 нет.

Принцип максимума в задаче (3.45)-(3.49) с фиксированным временем отличается от теоремы 3.11 тем, что в нем отсутствует условие (3.51).

В неавтономных задачах с подвижными концами имеет место теорема 3.11 с дополнительными условиями трансверсальности на соответствующих концах траекторий, которые записываются как в автономной системе (см. §6 этого раздела).