§3. Теорема существования оптимального управления в задаче Майера

Сначала докажем несколько лемм, приводящих к доказательству теоремы существования оптимального управления в задаче (3.4).

Так как множества M₀ и M₁ компактны, то управление можно продолжить за пределы . Более точно, существуют такие и , что для управления

(3.10)

( – любой фиксированный элемент из U) и соответствующей ему траектории , .

Обозначим через X ⁰ множество всех решений (3.5), определенных на .

Лемма 3.1. Существуют такие постоянные , что для всех и

a) (т.е. X ⁰ равномерно ограничено);

b) , .

Доказательство. Так как M₀ компактно, то (здесь ). Из ограниченности интеграла в (3.5) как непрерывной функции верхнего предела на ограниченном интервале следует для всех . Согласно (3.8),

, .

В условии a) можно взять . Тогда в силу (3.5) и (3.6)

,

где . Лемма доказана.

Пусть – некоторая последовательность допустимых управлений. Продолжим на интервал указанным в (3.10) способом и пусть – решение вида (3.5), соответствующее и определенное на . Совокупность соответствующих граничных параметров обозначим , где , .

Лемма 3.2. Существует такая минимизирующая последовательность , что равномерно сходится к на при . Кроме того, удовлетворяет условиям a) и b) леммы 3.1 и сходится к e*.

Доказательство. Пусть – некоторая минимизирующая последовательность, а – соответствующие решения вида (3.5). Так как M₀ и M₁ – компактные множества, то ограничена. Используя теорему Асколи (см. §1) для X ⁰, получаем, что существует такая подпоследовательность , что сходится равномерно на к некоторому , а сходится к e* при . Обозначим . Так как удовлетворяет условиям a) и b) леммы 3.1 при каждом , то также удовлетворяет этим условиям. Поскольку стремится к e*, а равномерно сходится к , то

, .

Лемма доказана.

В следующих двух леммах докажем существование такого управления , что соответствующая траектория при , , удовлетворяет равенству (3.5).

Заметим, что функция , построенная в лемме 3.2, удовлетворяет условию Липшица (3.7), значит, она абсолютно непрерывна, следовательно, производная существует почти всюду.

Лемма 3.3. Пусть в задаче (3.1) множество выпукло для каждого . Тогда если существует, то для каждого .

Доказательство. При и под понимаются соответственно левая и правая производные. Пусть . Обозначим для простоты и рассмотрим -окрестность множества W:

,

где . Так как W – выпуклое множество, то тоже выпуклое множество. Непрерывная функция f равномерно непрерывна на компактном множестве (см. условие a) леммы 3.1). Следовательно, существует положительная последовательность , стремящаяся к нулю при , для которой

, когда .

В частности, пусть , , и используем неравенство

.

Пусть и , , ( ). Выберем так, чтобы

при , .

Пусть . Тогда , и, значит, , когда , . Ввиду (3.5)

, .

Так как – выпуклое множество и , правая часть этого равенства принадлежит . Пусть . Так как – замкнутое множество, получаем, что

, .

Пусть , тогда . Но число было выбрано произвольно. Следовательно, . Лемма доказана.

Лемма 3.4. Существует такое управление , что

(3.11)

почти всюду на интервале .

Доказательство. Согласно лемме 3.3 и определению множества получаем, что существует управление , удовлетворяющее (3.11). Однако для того, чтобы , необходимо, чтобы функция была интегрируемой по Лебегу. Это, в свою очередь, гарантируется леммой об измеримом выборе ([36], стр. 277). Лемма доказана.

Теперь сформулируем и докажем основную теорему.

Теорема 3.1. Пусть в задаче Майера (3.4) выполнены следующие условия:

1. f непрерывна по всем переменным (т.е. в );

2. существует такое постоянное число , что для всех , и ;

3. существует такое постоянное число , что для всех , и ;

4. ;

5. U компактно в ;

6. M₀ и M₁ компактны в ;

7. F непрерывна на M₁;

8. множество обобщенных скоростей выпукло для каждого .

Тогда в задаче (3.4) существует оптимальное управление .

Доказательство. Пусть , , , , e* такие же, как в лемме 3.2, а управление такое же, как в лемме 3.4. Так как M₀ и M₁ – компактные множества и , , то , . Кроме того, , соответствующее , удовлетворяет равенству (3.5). Поскольку F – непрерывная функция, то при . Но последовательность стремится к , так как эта последовательность минимизирующая. Следовательно,

.

Отсюда следует, что функция J достигает минимума на U при . Теорема доказана.

Замечание. Если в реальной задаче управления условие 8) теоремы 3.1 не выполняется, то в рассматриваемом классе U оптимальное управление не существует. Именно по этой причине в примере 3.1 (см. §2) отсутствует оптимальное управление. Действительно, множество представляет собой часть плоскости, заключенную между параболами (рис. 3.3), и потому не является выпуклым.

В таком случае расширяют множество U следующим образом. На множестве U определяют вероятностную меру (т.е. для каждого подмножества множества U определяют вероятность его появления). Тогда под управлением понимается любое отображение , которое каждому t ставит в соответствие некоторую вероятностную меру (t) на U. Такие управления называются с кользящими режимами. B результате множество становится выпуклым и теорему 3.1 можно применить к задаче (3.1) (для существования оптимального скользящего режима).

Из теоремы 3.1 можно вывести условия существования оптимального управления в нелинейных задачах на быстродействие (см. пример 3.1 и замечание к теореме 3.1).

Рассмотрим следующую задачу:

(3.12)

где T – (нефиксированный) момент прихода фазовой точки (траектории) во множество М.

Теорема 3.2. Пусть в задаче (3.12) выполнены условия 1)-5) и 8) теоремы 3.1. Пусть, кроме того, множество М компактно. Тогда в задаче (3.12) существует управление , которое переводит систему из точки x⁰ во множество М за минимальное время.

Докажите эту теорему самостоятельно.