§6. Структура оптимального управления

Из анализа известно, что линейная функция, заданная на многограннике, достигает своего максимального или минимального значения в одной или нескольких вершинах этого многогранника. В последнем случае максимум или минимум достигается в каждой точке выпуклой оболочки таких вершин. Ясно, что выпуклыми оболочками являются ребра или грани многогранника.

В этом параграфе в качестве множества U рассмотрим различные виды многогранников, которые будем считать компактными.

Если оптимальное управление разрывно, то каждая точка разрыва называется точкой переключения (рис. 2.5).

Задача (2.1)-(2.5) называется нормальной, если два допустимых управления и , переводящих систему из x⁰ в одну и ту же точку , совпадают почти всюду (т.е. за исключением конечного числа точек интервала ). Следовательно, задача (2.1)-(2.5) является нормальной тогда и только тогда, когда для каждого нетривиального решения сопряженной системы и любых , , удовлетворяющих условию

, (2.20)

почти всюду на . Оказывается, что для нормальной задачи множество достижимости K(T) строго выпукло, если только U содержит более одной точки.

Лемма 2.1. Если в автономной линейной задаче на быстродействие множество U является выпуклым многогранником и выполнено условие общности положения, то эта задача нормальна.

Доказательство. Докажем от противного. Предположим, что при выполнении условий леммы задача не является нормальной. Тогда существуют два различных управления , такие, что равенство (2.20) выполняется на целом (ненулевом) подынтервале . Обозначим . Максимум функции на выпуклом многограннике U существует. В частности, в каждый момент линейная по u функция принимает свое максимальное значение на некотором ребре многогранника U. Так как U имеет конечное число ребер, то существует промежуток , в течение которого максимум функции достигается на некотором ребре . Поэтому для всех и любого вектора ( ), параллельного ребру , имеем:

или .

Так как левая часть последнего равенства дифференцируема почти всюду на , то

.

Повторяя этот процесс (дифференцируя) n раз, в итоге получаем:

, , …, (2.21)

почти всюду на . Отсюда следует, что векторы

, , , …,

все ортогональны вектору , а значит, они линейно зависимы. Это противоречит условию леммы (условию общности положения). Отсюда заключаем, что рассматриваемая задача нормальна. Лемма доказана.

Теорема 2.9. Пусть в автономной линейной задаче на быстродействие в начало координат

1. U – выпуклый многогранник в ;

2. выполнено условие общности положения.

Тогда любое экстремальное управление является кусочно-постоянной функцией, значения которой лежат в вершинах многогранника U, причем может иметь только конечное число переключений.

Доказательство. Заметим, что в условиях теоремы 2.9 лемма 2.1 утверждает о нормальности рассматриваемой задачи. По теореме 2.6 экстремальные управления существуют. Экстремальное управление доопределим на множестве меры нуль так, чтобы всюду на выполнялось равенство

.

В силу условия 2) максимум функции достигается лишь в вершинах U. Поэтому значения будут почти всегда лежать в вершинах U.

Предположим, что имеет бесконечное число разрывов на . Это означает, что выражение вида достигает максимума на целом ребре e многогранника U в каждый из бесконечных моментов времени . Тогда для вектора ( ), параллельного ребру e, . Поскольку – линейная функция, то отсюда можно заключить, что для всех . Но тогда приходим к (2.21), что противоречит условию 2) теоремы. Итак, у экстремального управления на интервале может быть лишь конечное число переключений. Теорема доказана.

Теорема 2.9 называется теоремой о числе переключений. Так как все оптимальные по быстродействию управления являются экстремальными (см. теорему 2.8), то они удовлетворяют утверждению теоремы 2.9.

Оказывается, что число переключений существенно зависит от конкретного вида многогранника U.

Теорема 2.10. Пусть в условиях теоремы 2.9

1. U является параллелепипедом: a_i  u_i  b_i, i = 1, ..., m;

2. все собственные значения матрицы А действительны.

Тогда в оптимальном управлении каждая компонента кусочно-постоянна, принимает только значения a_i и b_i и имеет не более, чем переключение.

В случае, когда множество U является m-мерным кубом, имеет место следующее утверждение.

Теорема 2.11. Если в автономной линейной системе на быстродействие

1. 

2. выполнено условие общности положения,

то любое экстремальное управление имеет вид

почти всюду на [0,T], где (t) =  ⁰ e ^–At – нетривиальное решение сопряженной системы. Таким образом, принимает лишь значения 1 и имеет конечное число переключений.