§5. Принцип максимума для линейных задач оптимального управления

Один из основополагающих результатов теории оптимального управления – принцип максимума Понтрягина – впервые был сформулирован и доказан для линейных задач на быстродействие.

Этому вопросу логически предшествуют рассмотренные нами три проблемы теории оптимальных процессов: проблема формализации, которая состоит в математическом моделировании исследуемого объекта или процесса; проблема управляемости, в которой решается вопрос о существовании хотя бы одного допустимого управления, решающего задачу управления; проблема существования оптимальных управлений, в которой изучаются классы допустимых управлений и дополнительные условия, обеспечивающие наилучшее достижение цели управления.

Если задача оптимального управления имеет решение, то нужно знать признаки, с помощью которых можно выделить среди допустимых управлений оптимальное управление. В этом состоит проблема необходимых условий оптимальности. Составление соотношений, выполнение которых на допустимых управлениях гарантирует оптимальность последних, составляет проблему достаточных условий оптимальности. Условия, которые являются одновременно необходимыми и достаточными, называются критериями оптимальности. Если необходимые и/или достаточные условия хорошо проверяемы и дают способ нахождения оптимального управления, то они считаются конструктивными.

Принцип максимума Понтрягина для автономных линейных задач на быстродействие как раз является необходимым и достаточным условием (т.е. критерием) оптимальности и позволяет вычислить оптимальное управление. Забегая вперед, скажем, что в других задачах этот принцип дает лишь необходимое условие оптимальности (неавтономные линейные системы и нелинейные системы управления).

Сначала сформулируем и докажем принцип максимума как необходимое условие оптимальности в неавтономной линейной задаче (2.1)-(2.5).

Теорема 2.7. Пусть в задаче (2.1)-(2.5) выполнены следующие условия:

1. U – компактное множество;

2. M(t) – компактнозначное непрерывное на [0,T] множество.

Пусть – оптимальное по быстродействию на интервале 0  t  T управление. Тогда управление является экстремальным, т.е.

(2.17)

почти всюду на [0,T], где (t) – нетривиальное решение сопряженной системы такое, что (T) является внешней нормалью к K(T) в точке .

Доказательство. Пусть – оптимальное управление, Т – минимальное время достижения терминального множества в точке , соответствующее . Надо доказать (2.17), т.е. надо доказать, что . Если бы , то по теореме 2.1 (непрерывность K(T)) существует такая окрестность точки , которая лежит внутри K(T). Но тогда из непрерывности терминального множества следует, что для . Это говорит о том, что терминальное множество достигается раньше момента времени Т, что противоречит оптимальности . Следовательно, и – экстремальное управление.

Раз есть экстремальное управление, то по теореме 2.6 для него выполняется равенство (2.17). Теорема доказана.

Условие (2.17) называется принципом максимума Понтрягина для линейной неавтономной задачи управления.

Теперь сформулируем принцип максимума для автономной системы (2.7), по быстродействию в начало координат.

Теорема 2.8. Пусть в автономной линейной задаче на быстродействие в начало координат

1. U – компактный многогранник, 0int U;

2. выполнено условие общности положения.

Для того, чтобы управление , переводящее систему (2.7) из начального состояния x⁰ в начало координат на отрезке [0,T] было оптимальным по быстродействию, необходимо и достаточно существование такого нетривиального решения (t) сопряженной системы (2.11), что для любого момента времени t[0,T] выполнено условие

(2.18)

более того, для любого t[0,T], кроме конечного числа моментов времени, выполнено равенство

(2.19)

Замечание. Условие 2) теоремы 2.8 об общности положения системы (2.7) применяется только при доказательстве достаточности. А необходимость доказывается без всяких ограничений. Таким образом, в системе (2.7) без условия общности положения принцип максимума является лишь необходимым условием оптимальности.

Условие (2.19), которое является аналогом условия (2.17), называется принципом максимума Понтрягина для линейной автономной задачи управления.